题型06 求数列通项（原卷版）

秒杀高考数学题型之求数列通项【秒杀题型一】：已知，求。『秒杀策略』：分段表示：，然后验证第一项是否在第二项以后的通项中，如果在则统一写，如果不在则分段写。特殊地：=1\*GB3①，当时，是等差数列，统一写；当时，从第二项起是等差数列，分段写。=2\*GB3②，当、互为相反数时，是等比数列，统一写；当、不互为相反数时，从第二项起是等比数列，分段写。【秒杀题型二】：由与、(数列前n项乘积。)与的关系求通项。『秒杀策略』：与采用作差法：与的关系=1\*GB3①，当取n-1(或n+1)时，得=2\*GB3②；=1\*GB3①-=2\*GB3②后求通项。与采用作商法：与的关系=1\*GB3①，当取n-1(或n+1)时，得=2\*GB3②；=2\*GB3②/=1\*GB3①后求通项。1.(2014年新课标全国卷=1\*ROMANI17)已知数列的前n项和为，，其中为常数。（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由。【秒杀公式1】：，当时，是等比数列，统一写；当时，从第二项起是等比数列，分段写。【秒杀公式2】：是关于的二次函数，作差后分解因式，得等差数列。【秒杀题型三】：由与的关系求的通项。『秒杀策略』：由，转化为的关系。(2015年新课标全国卷=2\*ROMANII6)设是数列的前项和，且，，则=。2.(高考题)已知数列的前项和为，，=，则=()A.B.C.D.【秒杀题型四】：累加法求通项。『秒杀策略』：当数列相邻两项之差是一个确定的数列时，利用累加法求通项。当数列相邻两项之比是一个确定的数列时，利用累积法求通项。设，且是已知数列，则求步骤为：……累加得：，可求出。1.(2010年新课标全国卷17)设数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。【秒杀题型五】：构造数列求通项。『秒杀策略』：主要有两类，一是显性构造(即题目中已知构造思路，按给定的思路构造。)，二是隐性构造(按已知特点构造数列。)。必须掌握的为常数，型线性递推关系。『解题策略』：一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，。此类问题经常以应用题的形式出现，且其构造试题选材背景主要有以下几种：=1\*GB3①拆建房屋（住房面积）构造的应用题：如每年新增住房面积的比例是一个定值，同时每年要拆除一定面积的旧房。=2\*GB3②汽车保有量问题：如每年汽车量按一定增长率增长，而每年同时要报废一定量的汽车。=3\*GB3③垃圾堆存量问题：如每年垃圾量按一定增长率增长，而每年同时要处理一定量的垃圾。=4\*GB3④森林覆盖面积问题：如新种植面积按一定比例增长，而每年同时要砍伐一定量的树木。1.(2018年新课标全国卷=2\*ROMANI17)已知数列满足：，设。（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式。2.(2014年新课标全国卷=2\*ROMANII17)已知数列满足。（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：。3.(高考题)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为（单位：m2）的旧住房。（1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；（2）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积是多少？（计算时取）4.(高考题)数列中，且又设。（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；