题型08 正、余弦定理综合应用（解析版）

秒杀高考数学题型之正、余弦定理综合应用【秒杀题型一】：面积、周长、边的计算。『秒杀策略』：秒杀公式：配方：。1.(2012年新课标全国卷17)已知、、分别为三个内角、、的对边，。（1）求；（2）若，的面积为，求、。【解析】：（1）两边为一次：由正弦定理得：，得，。（2），。解得：。2.(2016年新课标全国卷=1\*ROMANI17)、、分别为三个内角、、的对边，已知（1）求；（2）若的面积为，求的周长。【解析】：（1）两边为一次：由正弦定理得,，，得,。由得，由余弦定理得，，的周长为。3.(2017年新课标全国卷=2\*ROMANII17)、、为三个内角、、的对边，已知。（1）求（2）若,面积为2,求【解析】：（1）法一：依题得：，两边平方，∵，∴，∴，∴。法二：，得，由万能公式得.（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴。4.(高考题)在中，内角所对的边分别为，已知的面积为,，，则的值为。【解析】：，得，由余弦定理：，。5.(2017年新课标全国卷=1\*ROMANI17)的内角的对边分别为，已知的面积为。（1）求；（2）若，求的周长。【解析】：（1），由正弦定理得：，。（2），又，，，，，又,由余弦定理得：，,，，。周长。(也可利用正弦定理得)。【秒杀题型二】：面积、周长、边的最值。【题型1】：系数一致。『秒杀策略』：一般情况已知三角形的一边与其所对的角，有两种方法：设已知a，A。步骤规范模板：方法一：Step1：由余弦定理可得：；Step2：运用基本不等式：面积最值：由基本不等式得：，即：，，当且仅当时取到最大值。周长最值：=，由基本不等式：，得，当且仅当时取到等号。从而求得周长的最大值。方法二：Step1：由正弦定理可得：(确定常数)，有，；Step2：运用三角函数求最值：面积最值：；周长最值：；Step3：采用展开、降幂、合并化简为单一的三角函数求最值。采用展开、合并化简为单一的三角函数求最值。秒杀方法：均为等腰三角形取到最值。1.(高考题)在中，已知内角，边，设内角，周长为。（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值。【解析】：（1）由正弦定理得：，。（2），，当时取最大值。2.(2010年辽宁卷)在中，满足。（1）求的大小；（2）求的最大值。【解析】：（1）由正弦定理得，即，由余弦定理得。由（1）得：==，当时，取到最大值为1。3.(2014年新课标全国卷=1\*ROMANI16)已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为。【解析】：等式两边均为二次，由正弦定理得：，方法一：不等式法：由余弦定理得：，由基本不等式得，即，，当且仅当时取到等号。方法二：，由正弦定理：=，，，=，当时，。4.(2013年新课标全国卷=2\*ROMANII17)的内角的对边分别为，已知。（1）求；（2）若,求面积的最大值。【解析】：（1）由正弦定理：，得。同上题，，得，当时，。5.(2020年新课标全国卷=2\*ROMANII17)在中，。（1）求；（2）若，求周长的最大值。【解析】：（1）由正弦定理得，①由余弦定理得，②，由①，②得。因为，所以。（2）由正弦定理及（1）得，从而，，，又，所以当时，周长取得最大值。【题型2】：系数不一致。『秒杀策略』：方法一：运用三角函数求最值：采用展开、降幂、合并化简为单一的三角函数求最值。方法二：判别式法求最值：利用余弦定理转化为某一条边的一元二次方程，利用求最值。1.(2011年新课标全国卷16)在中，，，则的最大值为。【解析】：方法一：，，，；，最大值是。方法二：由余弦定理得：，设，代入得：，由得。【秒杀题型三】：正、余弦定理综合应用。『秒杀策略』：通过正、余弦定理转化条件。秒杀公式：三角形三边成等差或等比数列时，其中间角最大为。1.(高考题)的内角、、所对的边分别为、、。（1）若成等差数列，证明：；（2）若成等比数列，求的最小值。【解析】：（1），由正弦定理得：。（注意其逆命题亦成立）。（2），由余弦定理得：，由基本不等式得原式。2.(高考题)在中，所对的边分别为，已知（1）证明：；（2）求的最小值。【解析】：（1）原式可化简为：，即,由正弦定理得：。（2）由余弦定理得：，由由基本不等式得原式。秒杀高考题型之正、余弦定理解决实际测量问题【秒杀题型一】：求距离。『秒杀策略』：有三种类型：=1\*GB3①两点间不可通又不可视：测出两边、及其夹角，运用余弦定理求解。=2\*GB3②两点间可视但不可达：测出两角及其夹边，先用三角形内角和求出第三角，再运用正弦定理求解。=3\*GB3③两点都不可达：先在和中分别求出或，再在或中运用余弦定理求解。1.(2009年新课标全国卷17)为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，,,在同一个铅垂平面内(如图)，飞机能够测量的数据有俯角和间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算间的距离的步骤。【解析】：方案一：①需要测量数据有：点到的俯角；点到的俯角；的距离；②第一步：计算：由正弦定理得；第二步：计算：由正弦定理得；第三步：计算：由余弦定理得：。方案二：①需要测量的数据有：点到的俯角,；点到点的俯角,；的距离(如图)；②第一步：计算：由正弦定理得；第二步：计算：由正弦定理得；第三步：计算：由余弦定理得：。【秒杀题型二】：求高度。『秒杀策略』：有两种类型：=1\*GB3①底部可达：利用直角三角形的边角关系求解。=2\*GB3②底部不可达：先在中，运用正弦定理求出(或)，再由(或)求出；或先在地平面上的三角形中运用正弦定理求出一个测点到被测物体底部的距离，再在竖直的直角三角形中利用