理科数学-全真模拟卷04（新课标Ⅱ卷）（解析版）

全真模拟卷04（新课标Ⅱ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】已知全集，，.对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项正确；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项错误.故选：B.2．若i为虚数单位，（）A． B． C． D．【答案】D【详解】.3．已知角满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.4．在中，，，且，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，且，当时，取得最小值为，则取得最小值为.故选：A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】依题意，，，所以，此时，故选：B．6．已知函数，则（）A．是偶函数 B．函数的最小正周期为C．曲线关于对称 D．【答案】C【详解】函数，由于，即是奇函数，故A错误；的最小正周期为，故B错误；由于为最值，即曲线关于对称，故C正确；由于，，，故D错误；故选：C.7．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）A．20 B．25 C．30 D．55【答案】B【详解】所求分成两种情况①1名教师，2名学生时，有种②2名教师，1名学生时，有种共25种8．已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使得，且内切圆的半径大于，则C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，内切圆的半径为r．因为，所以，则．由等面积法可得，整理得，又故．又，所以则，从而．9．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，∴，对于A，若，则不等式不成立，对于B，若，则不等式不成立，对于C，若、，则不等式不成立，对于D，若，∴.故选：D.10．俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.年，为了远程性和安全性上与美国波音竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知飞机至少有个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为，则飞机能成功飞行的概率为，飞机能成功飞行的概率为，令即，解得.所以飞机引擎的故障率应控制的范围是.11．《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列，由题意可得，即，解得，又因为，所以，解得所以的公差，所以，所以谷雨日影长为，12．已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：当时，不等式恒成立等价于在上恒成立，令，则当时，；当时，；所以，所以二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在处的切线倾斜角为，则______________.【答案】【详解】由，所以，所以即处的切线的斜率为2，，∴，14．某中学飞机模型社团制作了一个飞机模型，把这个模型在一个高为米，底面半径为米的圆柱内进行飞行测试，假设飞机模型飞到任意位置的概率相等，若飞机模型在飞行过程中能够始终保持与圆柱上下底面和四周表面的距离均大于米，称其“达标飞行”，则在一次飞行过程中，飞机模型“达标飞行”的概率为________【答案】【详解】由题意可知，在一次飞行过程中，整个圆柱的体积是，根据题中“达标飞行”区域是一个高为米，底面半径为米的圆柱，体积为，故利用几何概型的概率计算公式可知，飞机模型“达标飞行”的概率为.15．在平面直角坐标系中，是曲线（）上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是________．【答案】6【详解】解：当直线平移到与曲线相切位置时，切点即为点到直线的距离最小.由，得（负值舍去），，即切点，则切点Q到直线的距离为，16．已知正方体的棱长为1，E，F，M分别为棱，，的中点，过点M与平面平行的平面与交于点N，则四面体的体积为________【答案】【详解】取的中点，连接，因为是、的中点，所以，取中点，连接，因为，四边形是平行四边形，所以，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以，即四边形为平面图形，且平面，平面，，所以平面，设为中点，连接，所以，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，所以过点且与平面平行的平面就是，点即是点，，所以.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，整理得，又由余弦定理，可得，又因为，所以.（2）由（1）知，又由，可得.因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，即面积的最大值.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【详解】解：（1）因为四边形为菱形，所以．又因为，为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．（2）连结．因为，为的中点，所以．由（1）可知平面，所以，．设，则．如图，建立空间直角坐标系．所以．所以，．因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则，即，所以令，则，．于是．所以．由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为．（3）当点是线段的中点时，平面．理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点使得平面等价于．假设线段上存在点使得平面．设，则．所以．由，得．所以当点是线段的中点时，平面，且．19．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万.从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示.（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差.【详解】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71~80岁的居民人数为万.由图2知.年龄在71~80岁的居民签概率为0.7.所以该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数为万.（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为.数学期，方差.20．已知椭圆：()的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围.【详解】（1）因为原点到直线的距离为，所以（），解得.又，得所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率为时，，,所以，当直线的斜率不为时，设直线：，，，联立方程组，得，由，得，所以，，，，由，得，所以.综上可得：，即.21．已知函数，（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若对(-3，-2)，[1，3]，不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，无极大值.（2）当时，，定义域为，，令得或，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，当，即时，，所以在上单调递减，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，（3）由（2）可知对(-3，-2)，在上单调递减，因为不等式恒成立，等价于，而，，所以，即对(-3，-2)恒成立，所以，解得.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．【详解】（1）设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)则ρρ0＝12.∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ，即为所求的轨迹方程．（2）将ρ＝