五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题10平面向量(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题10平面向量

平面向量

一、选择题

1.(2022新高考全国II卷•第4题)已知向量a=(3,4),1=(l,()),c=a+届，若<a,c>=<瓦c>,贝!Jf=

()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

/、9+31+163+，

解析：c=(3+r,4),cosa,c=cosb,c,Bp―乖।—=而「，解得t=5.故选C.

【题目栏目】

【题目来源】2022新高考全国II卷•第4题

2.(2022新高考全国I卷•第3题)在AABC中，点。在边AB上，=244.记刀=而丽=为，则而=

()

A.3fti-2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

解析：因点。在边AB上，BD=2DA.所以6万=2£认，即CT5-CB=2(C4—CZ5),

所以C月=3前一29=35-2而=一2沅+3万.故选：B.

【题目栏目】平面向量'平面向量的概念与线性运算'向量的线性运算

【题目来源】2022新高考全国I卷•第3题

3.(2022年高考全国乙卷数学(理)•第3题)已知向量满足|£|=1,仍=石,|£—2刈=3,则£石=

()

A.-2B.-]C.1D.2

【答案】C

解析：；|万—2B|2=|万5-4无5+4忖1，

又一l万|=1,|5|=y/3,\a-2b\=3,

.•.9=i_4〃/+4x3=13-4万啰，"-a-b=\故选：C.

【题目栏目】平面向量,平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2022年高考全国乙卷数学（理）•第3题

4.（2021年高考浙江卷•第3题）已知非零向量£,£人则=是“3=后”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

解析:若£."=小人则0-力）；=。，推不出£=）；若£=后，则3"=6•"必成立，故

是“£=3”的必要不充分条件，故选B.

【题目栏目】平面向量'平面向量的概念与线性运算'向量的线性运算

【题目来源】2021年高考浙江卷•第3题

5.（2020年高考课标H1卷理科•第6题）已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ah--6,则cos〈a,a+b）=

19一1719

A._卫

~35B.-----C.—D.—

353535

【答案】D

解析：.卜，=5,|=6,d-b=—6>

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计

算，考查计算能力，属于中等题.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2020年高考课标川卷理科•第6题

6.（2020年新高考全国I卷（山东）•第7题）已知P是边长为2的正六边形A8CDEF内的一点，则丽.丽的

取值范用是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（-4,6）

D

【答案】A解析：F

油的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到而在Ag方向上的投影的取值范围是（-1,3）,

结合向量数量积的定义式，

可知/•通等于A月的模与而在通方向上的投影的乘积，

所以福•前的取值范围是（一2,6），故选：A.

【题目栏目】

【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第7题

7.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第3题）在△A6C中，。是A8边上的中点，则丽=（）

A-2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

解析：CB^CA+AB^CA+2AD^CA+2（CD-CA^^2W-CA

【题目栏目】平面向量'平面向量的概念与线性运算'向量的线性运算

【题目来源】2020年新高考全国卷H数学（海南）•第3题

8.（2019年高考上海•第13题）已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量力可以是（）

A.（2,-1）B.（2,1）c.（-1⑵D.（1,2）

【答案】【答案】D

【解析】依题意：（2,-1）为直线的一个法向量，，方向向量为（1,2）,选D.

【点评】本题主要考查直线的方向量.

【题目栏目】平面向量'平面向量的概念与线性运算'平面向量的共线问题

【题目来源】2019年高考上海•第13题

9.（2019年高考全国n理•第3题）已知方=（2,3）,AC=（3,z）,|BC|=1,则福•比=（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】【答案】C【解析】•.•荏=（2,3）,AC=（3,Z）,BC=AC-AB=（l,t-^,：.

西="+”3）2=1,解得f=3,

即就=（1,0）,则福.第=（2,3＞（l,0）=2xl+3x0=2.

【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法，利用

转化与化归思想解题.本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.学生易

在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量

积.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2019年高考全国n理•第3题

10.（2019年高考全国I理•第7题）已知非零向量入B满足同=2忖，且可上九则M与坂的夹角

为（）

7171245乃

A.—B.—C.---D.—

6336

【答案】答案：B

a-bj.Lb,:.\^a-byb=a-b-b=0,.\a-b=b=p|,所以

所以a，

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的垂直问题

【题目来源】2019年高考全国I理•第7题

11.（2019年高考全国I理•第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的

J5-1

长度之比为义」

（史二!■“0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美

2

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是苴」.若某人满足上述两个黄金

2

分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

头顶

【答案】咽喉

答案：B

解析：如图，=0.618,6Z=0.618/7,c=0.6186?,

db肚脐

c

c<26,则d=<42.07,a=c+d<68.07,=<110.15,

0.6180.618

所以身iWj〃=a+b＜178.22,

又力＞105,所以〉=0.61泌＞64.89,身高〃=。+人＞64.89+105=169.89夕

故〃e（169.89,178.22）,故选B.

【题目栏目】平面向量'线段的定比分点问题

【题目来源】2019年高考全国I理•第4题

12.（2018年高考数学浙江卷•第9题）已知用坂，工是平面向量，"是单位向量，若非零向量1与e的夹角为

I，向量B满足片—4工$+3=0,则归一1的最小值是（）

A.—1B.＞/3+1C.2D.2—yfi

【答案】A

解析：解法1：（配方法）由方-4e-B+3=0得-4e-B+4/=1,即仅-2e）=1,因此忸-2,=1.如

图，OE=e,OF=2e,ZPOE^-,则向量区的终点在以尸为圆心，1为半径的圆上，而万的终

3

点A在射线OP上，,-4=M回，问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值

为圆心到射线的距离减去半径即为囱-1.

H

解法2：（向量的直径圆

式）由不一424+3=0,得万=4工4+3/=（）,所以仅—斗仅一3"）=0,

如图，OE^e,OH=3e,OB^b,则丽・丽=0,即终点B在以E”为直径的圆上，以下同解法1.

解法3：（绝对值性质的应用）由不—4工4+3=0,得^一4"7+4/=1,即伍一2工『=1,因此

忸-20=1,而由图形得卜―

所以口_q=|（万_2"）_0_2研可万_2/_忸_24=6_1,所以卜-闸的最小值为百—1.

解法4：（坐标法）设窗员工起点均为原点，设；=（1,0）,1=（%,〉），则）的终点A在射线

y=6x（x>0）上，由犷一4"3+3=0,得/+/_4》+3=0,B|J（x-2）2+/=l,所以向量力的

终点在圆

（x-2）2+丁=1上，也的最小值即为求圆上一点到射线y=岛（x>0）上一点的最小距离，

即为6-1.

模长问题

【题目来源】2018年高考数学浙江卷•第9题

13.（2018年高考数学天津（理）•第8题）如图，在平面四边形458中，AB1BC,AD±CD,

NB4D=120°,AB^AD^l,若点E为边8上的动点，则荏•屁的最小值为（）

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

【答案】A

【基本解法1】连接AC,则易证明AABC^AWC,所以ADAC=ABAC^60°

E,

所以5C=C£>=G，设QE=/l反(0<丸<1),

则通.而=(而+码•阿+国=(亚+4时•阿-(1_乃响

=ADBC+^DCBC-A(1-A)DC=|-|Bc|cos30°+A|/5c|•|Bc|cos600-A(1-2)|Dc|?

4a(1A2oii_____oi

-322--2+-=3A--+—,当4=上时，荏•丽取得最小值，最小值为二.

224；16416

【基本解法1】连接AC,则易证明△ABCgAADC,所以ND4C=/BAC=60°,

所以BC=CD=Jj,以。为坐标原点，D4,OC所在方向为轴正方向

建立如图所示平面直角坐标系，过8作8F_Lx轴于点F

1

X则AF=A8cos60°=—,8尸=A8sin600=Z,所以B

22

DE=2(0<2<V3)A(l,0),E(0,A)

21

A£-BE=(-1,2)-十一

16

当;时，荏.屁取得最小值，最小值为巴.

416

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2018年高考数学天津(理)•第8题

14.(2018年高考数学课标H卷(理)•第4题)己知向量a,8满足|a|=l,ab=-\,则a-(2a-b)=

()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

解析：a(2a-b)=2\a^-ab=2+\=3,故选B.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2018年高考数学课标H卷(理)•第4题

15.(2018年高考数学课标卷I(理)•第6题)在AABC中,AO为8C边上的中线，E为AO的中点，则丽=

()

3___1___1___3___3___1___,]___3__.

A.-AB一一ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

解析：在AABC中，为8c边上的中线，E为的中点，

[1Q1

EB=AB-AE=AB--AD=AB--(AB+AC>\=-AB--AC,故选A.

22、744

【题目栏目】平面向量'平面向量的基本定理

【题目来源】2018年高考数学课标卷I(理)•第6题

16.(2018年高考数学北京(理)•第6题)设2,B均为单位向量，则“口一3q=|3£+q”是的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

解析：忖-30=11+目等号两边分别平方得：下一6万4+9铲=9万2+6万4+片，因为矫=片=1,

所以〃石=°,与〃等价，故选c.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的垂直问题

【题目来源】2018年高考数学北京(理)•第6题

二、多选题

17.(2021年新高考I卷•第10题)已知O为坐标原点，点片(cosa,sina),鸟(cos6,一siny?),

A(cos(a+〃),sin(a+〃))，4(1,0),贝！］()

A.|M=|啊B.|祠=|碉

C.aoR=OP；OP；D.OAOPt=O^OP^

【答案】AC

解析：A：OPX=(cosa,sina),OP,=(cos)3,-sinP),所以10.|=Jcos'a+sin2a=1,

|OK1=V(cos^)2+(-sin??)2=1.故|西|=|四I，正确；

B：APX=(cosa-l,sina),AP2=(cosp-1,-sinp),所以

2222

|AP}|=^/(cosa-1)+sina=A/COScz-2cosa+l+sina=^/2(1-cosa)=Jsin?'=21siny|,同理

\APA=7(cos^-l)2+sin2^=2|siny|,故|A/f|,|Ag|不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOPy=1xcos(a+夕)+()xsin(a+夕)=cos(a+0),

0PxOP?=cosa-cos>3+sina-(-sin/?)=cos(a+/?)，正确；

D：由题意得：OA'OPX=1xcosa+0xsina=cosa，OP2OP、=cospxcos(a+/?)+(-sin/?)xsin(a4-p)

=cosacos2/7一sinasin/3cos-sinasin（3cos0-cosasin.）

=cosacos2/7-sinasin2/7=cos（a+2/3）,错误；

故选AC.

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2021年新高考I卷•第10题

三、填空题

18.（2022年高考全国甲卷数学（理）•第13题）设向量£,B的夹角的余弦值为:，且忖=1,M=3,则

（2a+b）-b=.

【答案】11

【解析】设3与万的夹角为。，因为£与坂的夹角的余弦值为g,即cose=g,

又忖=1,M=3,所以=M.WcosO=1x3x，=1,

所以（2"+4=2a4+B=2a-S+1/?|=2x1+32=11.故答案为：II.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2022年高考全国甲卷数学（理）•第13题

19.（2021年高考浙江卷•第17题）已知平面向量2区2,（240）满足W=l，W=2,7B=0,R—®"=0.记向

量2在2出方向上的投影分别为x,V，在々方向上的投影为z,则d+V+z?的最小值为

【答案】I2

解析：由题意，设&=（1,0）,9=（0⑵，旌（血,〃），则（。-〃卜。=加-2〃=0,即,"=2〃，

又向量2在£出方向上投影分别为X,V，所以2=",），）,

（/7—\•c机"_1)+2%-2+y

所以2-£在"方向上的投影2=•海J/r+〃2

即2x+y—\[5z=2,

所以x2+/+z2=*22+l2+(-V5)'(x2+y2+z2)>-^(2x+y-V5zy=|,

2

x=—

5

X__2

y=^时,2

当且仅当2-1--5/5即等号成立，所以V+〉2+z2的最小值为1故答案为

2x+y-y/5z=2

石

z=----

5

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2021年高考浙江卷•第17题

20.（2021年新高考全国《卷・第15题）己知向量£+各+£=6，忖=1,忖=，=2,£4+/；."+34=

【答案】q9

解析：由已知可得（Q+〃+c）=a+b+c^+2（〃.〃+6."+0〃）=9+2（〃.日+~0+°.〃）=0,

一一一一一一99

因此，a-b+h-c+c-a=—.故答案为：—.

22

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2021年新高考全国H卷•第15题21.（2021年高考全国乙卷理科•第14题）已知向量

a=（1,3）,^=（3,4）,若（。一万）则4=.

3

【答案】-

解析:因为£一4=。,3）—/1（3,4）=（1—3/1,3—4孙所以由（£一篇）可得,

a

3（l-3Z）+4（3-4Z）=0,解得；l=：・

3

故答案为：—.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设Z=（5，x）石=（%,%），

aA-b<r>a-b=Q<=>xyx2+yxy2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.

【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算

【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第14题

22.（2021年高考全国甲卷理科•第14题）已知向量£=（3,1）出=（1,0）,"=£+攵尻若Zj_",则/=

解析：•.•2=（3/）,5=（1,0）,.・.5=2+防=（3+左,1）,

•.•5±c,.-.a-c=3（3+A:）+lxl=0,解得％=-?，

故答案为：一~—.

3

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

R=（x”X）用=（%2，%）垂直的充分必要条件是其数量积+y%=0.

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第14题

23.（2021高考天津•第16题）在△A8C,角A8,c所对的边分别为a,4c,已知

sinA:sinB:sinC=2:1:近>b=近■

⑴求a的值；

（II）求cosC的值；

（川）求sin（2C-f］的值.【答案】⑴28；（ID。；（Hl）

I416

解析：⑴因为sinA:sin8:sinC=2:1:、反，由正弦定理可得a:。：c=2:1:0，

,：b=4i>:.a=2血,c=2；

a2+h2-c28+2-4_3

（II）由余弦定理可得cosC=

2ab2x272x72-4

(ill)cosC=—,sinC=Vl—cos2C———>

44

sin2C=2sinCcosC=-，cos2C=2cos2C-l=2x-^-l=^,

448168

店“I.7rl.c「71”.兀3币73113V21-1

所以sin|2Csin2Ccoscos2Csin—=——x—....x—------------.

I6；66828216

【题目栏目】

【题目来源】2021高考天津•第16题

24.(2021高考天津•第15题)在边长为1的等边三角形A8C中，。为线段BC上的动点，且

交AB于点E.O/7/AB且交AC于点F,则|2星+而|的值为；(屁+而)•丽的最

小值为•

【答案】①.1②.—

20

解析：设BE=x,•.•△ABC为边长为1的等边三角形，DEYAB,

ZBDE=30°,BD=2x,DE=^3x,OC=1-2x,

•••DF//AB,:.QFC为边长为1-2x的等边三角形，DE上DF，

(2BE+DF)2=ABE+4BE.而+/=+4x(1-2x)xcos0c+(l-2x)2=1>

:.\2BE+DF\^\,

(DE+1)F)DA=(DE+DF)(J)E+EA)=DE+DFEA

/3113

=(&y+(l—2x)x(l—x)=5f—3x+l=5x—±+—，所以当x=一时，(DS+丽)•丽的

t10J2010

最小值为

20

故答案为：1；—.

A

【题目来源】2021高考天津•第15题

25.（2020年高考课标I卷理科•第14题）设为单位向量，且降+5|=1,则|乙一5|=

【答案】百

【解析】因为工行为单位向量，所以口=M=I

所以,+2£%+忖=\）2+2a-b=1

解得：2ci-b=—1

所以J仅间2=Jq—2£%+麻=6

故答案为：百

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2020年高考课标I卷理科•第14题

26.（2020年高考课标H卷理科•第13题）已知单位向量的夹角为45°，与：垂直，则

k=.

【答案】正

2

解析：由题意可得：«.J=lxlxcos45°=-）由向量垂直的充分必要条件可得:ka-b\-a=0,

2

即：k益二4=k—旦=金，解得：k=显.

22

故答案为：显.

2

【点睛】本题主耍考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2020年高考课标II卷理科•第13题

27.（2020年浙江省高考数学试卷•第17题）设或为单位向量，满足|21-不区夜，£=1+

石=31+1，设3，B的夹角为6,则cos?。的最小值为—

.一、28

【答案】—

29

UIUL

解析：Q2q—6区及，

UU

.\4-4et-e24-l<2,

irir3

・'.G•%N-,

-4

uuiru

Wb)?

cos20=—IMC2)21r1r=火匕山

(2+2e[・e2)(10+6q-e2)5+3q-e2

424228

=­(1--------瞋tr)Nz(1---------T)

5+34435+3x-29.

4

【题目栏目】平面向量,平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第17题

28.（2020江苏高考•第13题）在A4BC中，AB=4,AC=3,N3AC=90。，。在边BC上，延长4）到P,

4___

使得AP=9,若R4=W而+（5-m）前（”为常数），则CD的长度是

若小。且小|,则反加三点共线，,%层刃”即人|,

22

\,AP=9,AD=3,•/AB=4,AC=3,ABAC=90°,BC=5,

设CD=x,ZCDA=0,则BD=5—x,ABDA=7r-0.

AD2+CD2-AC2x/八、AD2+BD--AB2(5-x)-7

根据余弦定理可得cos。=-,cos(%-6)=-----------------------=-—―「

2ADCD6''2ADBD6(5-x)

•••cosd+cos(l-6)=0,.♦.；+(：/，)、7=0，解得X=学，r.CD的长度为电.

66(5-x)55

___3___

当相=0时，PA=-PC,C,O重合，此时CD的长度为0,

Q_____Q1Q

当初=—时，PA=^-PB,反。重合，此时E4=12,不合题意，舍去.故答案为：0或一.

225

【题目栏目】平面向量'平面向量的坐标运算

【题目来源】2020江苏高考•第13题

29.(2020北京高考•第13题)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足A户=g(A^+前)，则|a5|=

：PB»PD=•

【答案】(1).小(2).-1

【解析】以点A为坐标原点，AB，4)所在直线分别为X、》轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则点4(0,0)、5(2,0),42,2)、0(0,2),

Q=g(通+前)=g(2,0)+g(2,2)=(2,l),则点尸(2,1),.•.丽=(-2,1),丽=(0,-1),

因此，附=J(-2『+12=百,PB-PD=0x(-2)+lx(-l)=-l.故答案为：石；—1.

【题目栏目】平面向量'平面向量的概念与线性运算'向量的线性运算

【题目来源】2020北京高考•第13题

30.(2019年高考浙江•第17题)已知正方形A88的边长为1当每个4(i=l,2,3,4,5,6)取遍±1时,

A通+4豆。+4丽+友丽+4/+4丽|,的最小值是,最大值是

【答案】【答案】0,2卡

【解析】正方形A8CD的边长为1,可得通+而=/，BD=7J5-AB>AB.AD=O.

所以14A2+++++

^^AB+X1AD-ZiAB-A.4Ab+AiAB+^AD+A(tAD-\AB\

=1(4—4+4—4)A豆+(%—%+4+A,b)AD।=J(4-4+4—4厂+(4—4+4+4))，

由于4(i=l,2,3,4,5,6)取遍±1,取&=4=1,4=4=1，4=-1,4=1时

得4-4+4-4=0,4-4+4+4=0,此时所求最小值为0；

由中4—4+4-4，4一4+4+4中的一个最大值为4,另一个为2,

可取4=1,4=-1,4=4=1,4=1,4=-1,此时所求最大值为2石.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积\平面向量的模长问题

【题目来源】2019年高考浙江•第17题

31.(2019年高考天津理•第14题)在四边形A8C£＞中，AD//BC,AB=2拒,AD=5,ZA=30°,

点£在线段CB的延长线上，且A£=BE,则•瓶=.

【答案】答案：-1解析：以4为坐标原点，A。所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，

则A(0,0),0(5,0),8(3,6),C(8,6),因为AE=3E,所以NE45=NEB4=NBA。=30°,

又AB=20,可得AE=2,又NE4£>=6()°,所以E(l,省)，所以8方=(2,-6)，,唬=(1,6),

面向量的数量积运算

【题目来源】2019年高考天津理•第14题

32.(2019年高考上海•第3题)已知向量a=(1,0,2),6=(2,1,0),则。与。的夹角为.

2

【答案】【答案】arccos—

【解析】cos6>=i：£=厂2厂=2.故而=也改2

U-WV5-V55\/5

【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的夹角问题

【题目来源】2019年高考上海•第3题

33.(2019年高考全国ID理•第13题)已知£,坂为单位向量，且2石=°,若c=2a一回,则cos〈a,c〉

2

【答案】【答案】一.

3

【解析】因为c=2。一，a石=(),所以a.c=2a-•JSa-b-1,

E|2=4|£|2_4有7B+5|B『=9，所以|C|=3,所以cos〈M，5〉=j^p^i=J^=§.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化

思想得出答案.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的夹角问题

【题目来源】2019年高考全国I【【理•第13题

34.(2019年高考江苏•第12题)如图，在AA8C中，。是8c的中点，E在边A3上，BE=2EA,AD与CE