2023年九年级中考数学专项突破：圆的综合压轴题

2023年中考数学专项突破：圆的综合压轴题一、综合题1．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．2．如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点.（1）求证：；（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；（3）若，且，求切线的长.3．如图，为的直径，点C是上一点，与相切于点C，过点A作，连接．（1）求证：是的角平分线；（2）若，求的长．4．如图，在中，是直径，点是上一点，且，过点作的切线交延长线于点，为弧的中点，连接、，与交于点．（1）求证：；（2）已知图中阴影部分面积为．①求的半径；②直接写出图中阴影部分的周长．5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；（2）求证：DF＝AF．6．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆上，点D在圆外，DE⊥AB于点E交AC于点F，且DF＝CD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若点F是AC的中点，DF＝2EF＝2，求⊙O半径.7．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）.给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”.（1）当⊙O的半径r＝2时，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r＝2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围.8．如图1，AB为圆O直径，点D为AB下方圆上一点，点C为弧ABD中点，连结CD，CA．（1）若∠ABD=70°，求∠BDC的度数；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点H，交AD于点E，∠CAD=α，求∠ACE（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长．9．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E，点F分别在半径OC，OD上（不与点O，点C，点D重合），连接AE，EB，BF，FA．

（1）若CE＝DF，求证：四边形AEBF是菱形．（2）过点O作OG⊥EB，分别交EB，⊙O于点H，点G，连接BG．①若∠COG＝∠EBG，判断△OBG的形状，说明理由．②若点E是OC的中点，求的值．10．如图，为的直径，是上的一点，连接，．是的中点，过作于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．11．如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1．(n≥2，且n为正整数)．（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．12．阅读材料：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为.例如：求点到直线的距离.解：由直线知，，，，∴点到直线的距离为.根据以上材料，解决下列问题：（1）问题1：点到直线的距离为；（2）问题2：已知是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值；（3）问题3：如图，设点为问题2中上的任意一点，点、为直线上的两点，且请求出的最大值和最小值.13．（1）问题提出如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）问题探究如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值；（3）问题解决如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积.14．如图，矩形ABCD中，，，动点E，F同时分别从点AB出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动时间为t.（1），（直接写出答案）.（2）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM.（3）在整个运动过程中，①连接CM，当t为何值时，为等腰三角形；②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围直接写出答案.15．如图，已知，是的平分线，A是射线上一点，．动点P从点A出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点B．经过O，P，Q三点作圆，交于点C，连接，．设运动时间为，其中．（1）求的值；（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在点P，Q运动过程中（），四边形的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形面积变化的趋势；如果四边形面积不变化，请求出它的面积．16．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E.（1）如图1，①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值.17．如图，四边形ABCD为正方形，取AB中点O，以AB为直径，O圆心作圆.（1）如图1，取CD的中点P，连接BP交⊙O于Q，连接DQ并延长交AB的延长线于E，求证：QE2=BE×AE；（2）如图2，连接CO并延长交⊙O于M点，求tanM的值.18．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求的面积．

答案解析部分1．（1）证明：连接CD，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，又∵AC=BC，∴AD=BD，∴点D是AB的中点．（2）解：DE是⊙O的切线．证明：连接OD，∵OB=OC，AD=BD∴DO是△ABC的中位线，∴DO//AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，∴cosB=cosA=，在Rt△BDC中，∵cosB=，BC=18，∴BD=6，∴AD=6，在Rt△ADE中∵cosA=，∴AE=2，∴DE=．2．（1）证明：∵是的切线∴，即∴∵AC是的直径∴∠ABC=90°∴∴（2）解：∵E是OD的中点，且AB⊥OD，∴AO=AD，又AO=OD∴△AOD是等边三角形∴∠AOD=60°∵PA是的切线，OA是的半径，∴∠OAP=90°∴∠APO=30°∴PO=2AO在中，∠AOE=60°∴∠OAE=30°设OA=R，则∴∴∵四边形的面积是，∴，即解得，（负值舍去）∴∵∴∴（3）解：∵∴故设BC=m，则AC=3m，∴∵OE//BC∴在Rt△AEO中，在Rt△AED中，∴∴(负值舍去)∴∵∴∴∴3．（1）证明：连接，如图，∵与相切于点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的角平分线；（2）解：∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴（负值已舍去）．4．（1）如图，连接，∵为的切线，为的半径，∴，，∵为的直径，，为弧的中点，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∴，∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，解得：；②中，，∴，∵为等边三角形，∴,∵∴图中阴影部分的周长．5．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝25°，∴∠DAB＝65°，∠DOA＝50°，∵OD⊥AC，∴∠EAF＝40°，∴∠DAC＝65°﹣40°＝25°；（2）证明：∵DE⊥AB于点E，∴∠DEO＝90°，∴∠EDB＋∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠ADE，∵OD⊥AC，∴＝，∴∠B＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ADE，∴AF＝DF．6．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠BAC+∠AFE＝90°，∵DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DFC＝∠AFE，∴∠DCF+∠OCA＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，作DH⊥AC于点H，如图2所示：∵DF＝CD，∴FH＝CH＝CF，∵点F是AC的中点，DF＝2EF＝2，∴AF＝CF＝AC，FH＝AC，EF＝，∵∠AED＝∠DHF＝90°，∠AFE＝∠DFH，∴△AFE∽△DFH，∴＝，∴AF•FH＝DF•EF，即：AC×AC＝2×，解得：AC＝±4（负值不合题意舍去），∴AF＝AC＝2，∴AE＝＝＝3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠FAE，∴△BAC∽△FAE，∴＝，即：＝，解得：AB＝8，∴⊙O半径＝AB＝×8＝4.7．（1）A，C（2）解：∵点E（4，3），∴OE=，即d=5，∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”，∴，解得；（3）解：如图a∥b∥c∥d，∵⊙O的半径r=2，随心点范围，∴，∵直线MN的解析式为y=x+b，∴x=0时，y=b；y=0时，x=-b，∴OM=ON，∴直线MN与y轴夹角为45°，①点N在y轴正半轴时，当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（-1，0），将M（-1，0）代入直线MN的解析式y=x+b中，0=-1+b，解得，b=1，∴b的最小值为1，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是距离⊙O最远的其中一个“随心点”时，此时OG=3，在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，∴GO=3∴在Rt△GNN’中，，解得ON'，将N'（0，）代入直线MN的解析式y=x+b中，=b，∴b的最大值为，∴，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，综上所述，b的取值范围为或.8．（1）解：连结AD、BC，

BC∵∠ABD＝70°，

∴∠ACD＝70°，∵C为弧ABD中点，

∴AC=DC∴∠ABC=∠ADC＝55°，

∴∠BDC＝∠CAB=35°（2）解：连BC，

∴∠ABC=∠ADC=∠CAD=α，

∴∠CAB＝90-α，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°

又∵CE⊥AB∴∠ACE=∠B=α（3）解：连CO并延长交AD于F，∵C为弧ABD中点，∴CF⊥AD，.由（2）∠ACE=∠B=ADC=∠CAD=α∴AE=CE由∵∴AH=CF，∵AO=CO，∴OH=OF=5∴AO=13∵∠ACE=∠B=∠ADC=α，∠CAD=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴即∴9．（1）证明：在⊙中，OA=OB=OC=OD，∵CE=DF，∴OC-CE=OD-DF，∴OE=OF，∵AB⊥CD，即AB⊥EF，∴四边形AEBF是菱形（2）解：①△OBG是等边三角形．理由如下：∵AB⊥CD，OG⊥EB，∴∠COB=∠OHB=90°，∴∠COG=90°-∠BOH=∠EBO，∵∠COG=∠EBG，∴∠EBO=∠EBG，∵BH=BH，∠BHO=∠BHG=90°∴△BHO≌△BHG（ASA）∴OB=GB，∵OB=OG，∴OB=OG=GB，∴△OBG是等边三角形．②设⊙的半径长为2m，则OC=OG=OB=2m，∵点E是OC的中点，∴OE=m，∴，∵∠EOH=90°-∠BOH=∠EBO，∴△OEH∽△BEO，∴，∴，∴，∴，∴10．（1）证明：延长交于点．∵是直径，，∴点是弧的中点，，∵是的中点，∴弧弧弧，∴弧弧，∴．（2）连接、．∵弧弧．∴∴．在中，，由（1）知，，则，∵，∴OD=5，在中，，∴，设，在中，∵，∴，解得，即的长度为．11．（1）证明：，，，，，，，，，即；（2）解：①补全图形如图3所示；CD、DE、DF之间的数量关系是：，理由如下：如图3，由旋转的性质得：，由（1）得：，，，，，，；②当时，，如图4，过点C作，垂足为H，则由△ABC的面积可得：，，，∵CD是直径，∴∠CED=90°，，，，，即：，解得，∴，，，，，，．12．（1）4（2）解：直线整理，得，故，，.∵与直线相切，∴点到直线的距离等于半径，即，整理得，解得或；（3）解：如解图，过点作于点.∵在中，，，，∴圆心到直线的距离，∴上的点到直线的最大距离为，最小距离为，∴的最大值为，最小值为.13．（1）=（2）解：取优弧的中点记为，过作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知过O且AD=BD，如下图②所示.过C作AB的平行线a，∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即的AB边上的高增大，得当a运动到最高点时，的AB边上的高最大，又AB为常数，∴当C运动到时的面积最大，下面计算的面积.连接OB在Rt△OBD中：∵AB=12、圆O的直径为20∴BD=6、BO=10、由勾股定理得∴∴的面积为，∴面积的最大值为108；（3）解：过C作CF∥BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示∴∠F=∠ADB=60°∵AD∥CE∴四边形DECF是平行四边形∴DF=CE，FC=DE又DC=CD∴△DFC≌△CED∴又由（1）的结论知∴所以只需求得最大值即得的最大值.以AC为边向外作等边三角形，再作等边的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示.∵∠F=60°∴点F在的外接圆上，由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，最大=.在Rt△ABC中：由勾股定理得∴∴∴∴四边形ADCE的最大面积是.14．（1）10；（2）解：如图1，连接ME，∵，AD=8，∴，∵EF为直径，∴∠EMF=90°，∴∠EMD=90°，∴（3）解：①如图2，连接MC，当DM=CD=6时，，解得；如图3，当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N，∵MC=MD，MN⊥CD，∴DN=NC，∵MN⊥CD，BC⊥CD，∴BC∥MN，∴M为BD的中点，∴MD=5，即：，解得；如图4，CM=CD时，过C作CG⊥DM，∵CM=CD，CG⊥DM，∴GD=MD=，∵，∴，∴，解得，舍去；如图5，当CD=DM时，连接EM，∵∴，∵EF为直径，∴EM⊥DM，∴，∴，解得，综上所述，当或或时，为等腰三角形；②当时，圆心O在AB上；如图6，当圆心在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线于点H，∵HE∥CD，OF=OE，∴DF=DH，∵，，∴，解得，综上，在整个运动过程中，圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，t的取值范围为.15．（1）解：由题意可得，OP=8-t，OQ=t，∴OP+OQ=8-t+t=8（cm）（2）解：当t=4时，线段OB的长度最大．如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．∵OT平分∠MON，∴∠BOD=∠OBD=45°，∴BD=OD，OB=BD．设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=BD=x，PD=8-t-x，∵BD∥OQ，∴，∴，∴．∴．∵二次项系数小于0．∴当t=4时，线段OB的长度最大，最大为2cm（3）解：∵∠POQ=90°，∴PQ是圆的直径．∴∠PCQ=90°．∵∠PQC=∠POC=45°，∴△PCQ是等腰直角三角形．∴．在Rt△POQ中，PQ2=OP2+OQ2=（8-t）2+t2．∴四边形OPCQ的面积．∴四边形OPCQ的面积不变化，为16cm2．16．（1）解：①如图1，平分四边形为的内接四边形，点P为的中点；②如图2，过P作PG⊥BC于G，交⊙O于H，连接OB，过圆心，∴PH是直径，∵∴，Rt△BOG中，∵OB=5，（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG=3，OC=OP=5，∴∴PG=4+5=9，∴设∠APC=x，∵点A为的中点，∴∴∠ABC=∠ABP=x，∵，∴，△中，∠PCB=∠CPE+∠E，∴，∴