求曲线的方程

关于求曲线的方程1第1页，共21页，2023年，2月20日，星期五2曲线与方程的关系

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。新课第2页，共21页，2023年，2月20日，星期五3（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”

，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏由曲线与方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x，y)=0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)=0.纯粹性完备性说明第3页，共21页，2023年，2月20日，星期五4例1判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3

（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2

（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1对错错认识概念变式训练：写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500xxxx第4页，共21页，2023年，2月20日，星期五5条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)=0的曲线”，则甲是乙的()(A)充分非必要条件

(B)必要条件(C)充要条件

(D)非充分也非必要条件B若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x，y)=0”是正确的，则下列命题中正确的是()(A)方程f(x，y)=0所表示的曲线是C

(B)坐标满足f(x，y)=0的点都在曲线C上(C)方程f(x，y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C

(D)曲线C是方程f(x，y)=0的曲线的一部分或是全部D第5页，共21页，2023年，2月20日，星期五61．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.

在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.第6页，共21页，2023年，2月20日，星期五7第7页，共21页，2023年，2月20日，星期五8我们的目标就是要找x与y的关系式先找曲线上的点满足的几何条件11方法小结第8页，共21页，2023年，2月20日，星期五9直接法（轨迹法）求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)坐标化:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.（查漏除杂）注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)第9页，共21页，2023年，2月20日，星期五10.B例2、动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。..AM解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（1）就是动点M的轨迹方程。第10页，共21页，2023年，2月20日，星期五11（2）要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。（3）根据具体条件，有时要注明变量X与Y的变化范围。小结：求曲线的方程要注意以下几点：（1）当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。第11页，共21页，2023年，2月20日，星期五12第12页，共21页，2023年，2月20日，星期五13BDA定义法直接法第13页，共21页，2023年，2月20日，星期五14第14页，共21页，2023年，2月20日，星期五15直接法（轨迹法）求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.（查漏除杂）注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)第15页，共21页，2023年，2月20日，星期五16（2）要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。（3）根据具体条件，有时要注明变量X与Y的变化范围。小结：求曲线的方程要注意以下几点：（1）当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。第16页，共21页，2023年，2月20日，星期五17适用范围:任何情况求轨迹方程的方法:(1)直接法（轨迹法）;(2)定义法;适用范围:所给的几何条件中恰好已知曲线的定义，且可以直接用这些曲线的定义写出这些曲线的方程。如:求到点(1,1)的距离等于到直线x+y=1的距离的点的轨迹方程.我们虽然知道它的轨迹是抛物线,但是不知道它的方程的形式,仍然只能用直译法求.第17页，共21页，2023年，2月20日，星期五181.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B,点M满足,求点M的轨迹方程.例3xyA(6,0)OBM特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0