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文档简介
§3.4解析函数的高阶导数一、高阶导数定理二、柯西不等式三、刘维尔定理解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第1页!一、高阶导数定理分析则由柯西积分公式有又……如果函数在区域D
内解析,在上连续,解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第2页!一、高阶导数定理定理如果函数在区域D
内解析,在上连续,则的各阶导数均在
D
上解析,证明(略)意义解析函数的导数仍解析。应用
推出一些理论结果。
反过来计算积分且
P71定理
3.9
(进入证明?)解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第3页!(1)令解
例计算则(复合闭路定理)C2C1C2
i-
i如图,作
C1
,C2两个小圆,记为解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第4页!二、柯西不等式定理设函数在内解析,且则(柯西不等式)证明函数在上解析,令即得
P73定理
3.10
解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第5页!证(1)任取正数则函数在内解析,由高阶导数公式有(注意在
上的性态不知道)解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第6页!证(2)(1)(3)令得解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第7页!(3)根据柯西积分公式有证(4)由即得解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第8页!休息一下……解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第9页!附:高阶导数定理的证明证明(1)
先证的情形,即证根据柯西积分公式有解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第10页!附:高阶导数定理的证明证明(1)
先证的情形,即证dDCz0如图,设
d
为
z0到
C
的最短距离,取适当小,使其满足则即得即解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第11页!解例计算解P73例3.12部分
解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第12页!解
例计算C2C2-
iC1
i(2)(高阶导数公式)同样可求得(3)解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第13页!三、刘维尔定理定理设函数在全平面上解析且有界,则为一常数。设为平面上任意一点,证明函数在上解析,且根据柯西不等式有令即得由的任意性,知在全平面上有则为一常数。P74定理3.11解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第14页!证(1)(2)由有解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第15页!证(1)由于在内解析,根据高阶导数定理可得在内,也解析;(2)由可得在内,,在内解析;解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第16页!证(反证法)
则函数在全平面上解析,设函数其中,
n
为正整数,例(代数基本定理)证明方程在全平面上至少有一个根。假设
在全平面上无根,即又故在全平面上有界,根据刘维尔定理有(常数),(常数),与题设矛盾。解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第17页!附:高阶导数定理的证明定理如果函数在区域D
内解析,在上连续,则的各阶导数均在
D
上解析,且证明由函数在上连续,有在上有界,即设边界
C
的长度为
L。(1)
先证的情形,即证解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第18页!附:高阶导数定理的证明证明(1)
先证的情形,即证记为
下面需要证明:当时,解析函数的高阶导数共20页,您现在浏览的是第19页!由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数,附:
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