解析函数的高阶导数

§3.4解析函数的高阶导数一、高阶导数定理二、柯西不等式三、刘维尔定理解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第1页!一、高阶导数定理分析则由柯西积分公式有又……如果函数在区域D

内解析，在上连续，解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第2页!一、高阶导数定理定理如果函数在区域D

内解析，在上连续，则的各阶导数均在

D

上解析，证明(略)意义解析函数的导数仍解析。应用

推出一些理论结果。

反过来计算积分且

P71定理

3.9

(进入证明?)解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第3页!(1)令解

例计算则(复合闭路定理)C2C1C2

i-

i如图，作

C1

,C2两个小圆，记为解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第4页!二、柯西不等式定理设函数在内解析，且则(柯西不等式)证明函数在上解析，令即得

P73定理

3.10

解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第5页!证(1)任取正数则函数在内解析，由高阶导数公式有(注意在

上的性态不知道)解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第6页!证(2)(1)(3)令得解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第7页!(3)根据柯西积分公式有证(4)由即得解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第8页!休息一下……解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第9页!附：高阶导数定理的证明证明(1)

先证的情形，即证根据柯西积分公式有解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第10页!附：高阶导数定理的证明证明(1)

先证的情形，即证dDCz0如图，设

d

为

z0到

C

的最短距离，取适当小，使其满足则即得即解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第11页!解例计算解P73例3.12部分

解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第12页!解

例计算C2C2-

iC1

i(2)(高阶导数公式)同样可求得(3)解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第13页!三、刘维尔定理定理设函数在全平面上解析且有界，则为一常数。设为平面上任意一点，证明函数在上解析，且根据柯西不等式有令即得由的任意性，知在全平面上有则为一常数。P74定理3.11解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第14页!证(1)(2)由有解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第15页!证(1)由于在内解析，根据高阶导数定理可得在内，也解析；(2)由可得在内，，在内解析；解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第16页!证(反证法)

则函数在全平面上解析，设函数其中，

n

为正整数，例(代数基本定理)证明方程在全平面上至少有一个根。假设

在全平面上无根，即又故在全平面上有界，根据刘维尔定理有(常数)，(常数)，与题设矛盾。解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第17页!附：高阶导数定理的证明定理如果函数在区域D

内解析，在上连续，则的各阶导数均在

D

上解析，且证明由函数在上连续，有在上有界，即设边界

C

的长度为

L。(1)

先证的情形，即证解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第18页!附：高阶导数定理的证明证明(1)

先证的情形，即证记为

下面需要证明：当时，解析函数的高阶导数共20页，您现在浏览的是第19页!由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，附：