基于灰色理论的公司自由现金流估值法研究

基于灰色理论的公司自由现金流估值法研究基于灰色理论的公司自由现金流估值法研究

中图分类号：F224；F123.7文献标识码：A文章编号：1004-5937〔2022〕20-0044-04一、引言

公司价值评估是现代公司金融、财务管理的核心内容之一，是学术界和实务界长期关注的重点领域，并且形成了支系庞大的理论体系。除去传统的本钱法、相比照较法外，现代公司价值的理论研究体系主要在几个方向展开：股利折现理论〔DDM〕、现金流量折现理论〔DCF〕、残余收益估值模型〔RIM〕、经济增加值模型〔EVA〕、实物期权估值理论。其中，现金流量折现理论〔DCF〕中的自由现金流量估值模型是目前在实践中应用最广泛的模型，国内多数机构投资者都采用此模型对公司进行估值，股神巴菲特也是该模型的忠实实践者。

自由现金流量〔FreeCashFlow，FCF〕最早由Rappaport、Jensen等学者于20世纪80年代提出。简言之，就是企业产生的在满足了再投资需要之后残余的现金流量。自由现金流量主要有两种表现形式：公司自由现金流量和股权自由现金流量。公司自由现金流量是公司产生的在满足了再投资需要之后残余的现金流量，这局部现金流量是在不影响公司持续开展的前提下可以自由分配给公司全部资本提供者〔包括债权人和股东〕的最大现金额。自由现金流量估值模型认为任何公司的价值都是公司未来的自由现金流量根据一定的折现率进行折现而得到的现值和。

自由现金流量估值模型的根本公式为〔以公司自由现金流量折现模型为例〕：

V0=■■〔1〕

其中，V0表示当前公司价值，FCFFt表示t期公司自由现金流量，WACC表示加权资本本钱。在实务中，公司价值常被分解为两局部，即预测期价值和后续期价值，用公式表示为：

V0=■■+■

〔2〕

其中，FCFFT+1表示T+1期公司自由现金流量，g表示公司增长率。

对于自由现金流量的计量办法，学者们有不同的认识。Rappaport、Copeland、Cornell等学者都给出了各自的自由现金流量计量公式。以Copeland的公式为例：

FCFF=EBIT×〔1-所得税税率〕+折旧-资本性支出增加-营运资本增加〔3〕

可见，如何进行正确的预测和计算，以获取合理的预计自由现金流是该模型的关键环节。而自由现金流的预测和计算，具有相当的复杂性和难度。其中最主要的困难是，哪怕是公开披露信息的上市公司，能够得到的公司财务数据也是十分贫乏的，尤其是一些新的公司，可得的数据更少。从很少的数据出发，如何合理地预测未来自由现金流，成为自由现金流量估值模型的主要难题之一。

目前学术界和实务界对于这一难题采取的定量预测办法有：一类是时间序列预测法，包括算术平均法、加权平均法、移动平均法、指数平滑法等；另一类是相关因素预测法，包括一元线性回归法、多元线性回归法等；还有一类是概率分析预测法，主要是马尔柯夫预测法。这些办法的应用前提多数是要求大样本、线性、分布已知等条件，对于财务实务中普遍存在的小样本、不确定、非线性、分布未知的情况根本失效。面对只有几年最多十年的公司财务数据，如何进行科学的数据开发和预测呢？灰色理论无疑是条有效的途径。

灰色理论是由我国驰名学者邓聚龙1982年创建并获得国际普遍认可的系统学理论，是一种专门针对“局部信息已知，局部信息未知〞的“小样本〞、“贫信息〞的不确定性系统的创新办法，目前已广泛应用在各行业实际数据的预测中。“灰色〞二字意指局部信息明确、局部信息不明确，与信息完全明确的“白色〞系统和信息完全未知的“黑色〞系统相对应。灰色理论创意是基于如下信念：虽然客观系统错综复杂，数据散乱，似乎毫无头绪，但其实服从某种内在规律。灰色理论就是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，也就是灰色序列生成过程，通过这种生成过程可以弱化原始数据的随机性，找到一定的规律。

由于灰色理论专门研究的是小样本不确定的系统，而且允许数据任意分布，这对于研究信息披露年限短、财务数据少的我国上市公司来说，无疑是极为有力的武器。可以在已知公司的财务数据中建立灰色模型，以便更科学地对自由现金流量做出合理的预测。目前在公司价值评估领域，基于灰色理论的研究国内尚未发展，国际上也未见相关文献。

二、灰色建模预测自由现金流的根本办法

灰色理论扩展了高阶微分方程理论，定义了灰导数和灰微分方程，并用离散数据序列建立了微分方程动态模型，称为灰色模型GM〔GrayModel〕。

设一个灰色系统中有h个变量，其中x1为因变量，x2，x3，x4…，xh为自变量，x〔1〕1〔k〕为原始数据序列的一次累加序列，那么描述该系统的模型为一个n阶微分方程：

■+a1■+K+an-1■+

anx〔1〕1〔t〕=b1x〔1〕2〔t〕+b2x〔1〕3〔t〕+K+bh-1x〔1〕h〔t〕

该方程称为GM〔n，h〕模型。当h=1时，该模型退化为GM〔1，1〕模型，它是灰色系统理论中最根底的、使用最广泛的模型。

GM〔1，1〕模型是一种单序列的一阶线性动态模型，其微分方程为：■+ax〔1〕=u，令：

Y=x〔0〕〔2〕x〔0〕〔3〕Mx〔0〕〔n〕X=-■［x〔1〕〔1〕+x〔1〕〔2〕］-■［x〔1〕〔2〕+x〔1〕〔3〕］M-■［x〔1〕〔n-1〕+x〔1〕〔n〕］E=11M1

从而有：Y=aX+uE

用最小二乘法求得方程的待定系数a，u。

存在：■=au=〔XTX〕-1XTY

再由一阶线性微分方程的通解离散化可得GM〔1，1〕模型的响应函数为：

■〔1〕〔k+1〕=x〔0〕〔1〕-■e-ak+■k=1，2，…，n

〔4〕

系统复原值为：

■〔0〕〔k〕=■〔1〕〔k〕-■〔1〕〔k-1〕〔5〕

初始条件：■〔1〕〔1〕=x〔1〕〔1〕=x〔0〕〔1〕

其中a称为开展灰数，它反映了数据序列估计值〔包括预测值〕的开展态势，在GM〔1，1〕模型中，-2≤a≤2，否那么模型无意义。u称为灰作用量，它的大小反映了数据的变化关系，在系统中相当于作用量。

将k=2，3，…，n代入〔4〕〔5〕式，可以先求出原始序列的模拟值，用它们和原始序列比照，进行误差检验，通过后，便可求出未来任意时刻的系统原始序列的估计值。

必须指出，任何一个灰色系统随着时间的推移，都有一些随机扰动因素慢慢进入系统，影响到系统规律的稳定，使得GM〔1，1〕的预测能力逐渐减弱。因此改良的办法是，随时将新数据放到模型中，建立新陈代谢模型，逐步淘汰预测意义衰减的老数据，而把预测意义更大的新数据放入模型，使得模型的预测能力得到提高。

以上建模过程可以归纳为八个步骤：

第一步，求累加生成数据序列x〔1〕〔k〕；

第二步，确定数据矩阵X，Y；

第三步，用最小二乘法求出参数a，u；

第四步，建立生成数据序列模型，求得■〔1〕〔k〕的叙述式；

第五步，求得■〔0〕〔k〕的模拟值；

第六步，进行误差检验；

第七步，用通过检验的■〔1〕〔k〕式预测未来的值；

第八步，建立新陈代谢模型，不断更新并逐一估算新一年的数据。

三、案例应用分析

下文将采用基于灰色理论的自由现金流量估值模型对A股某上市公司进行估值，从中比拟两种办法的异同。为保证本研究的客观性和独立性，本文将该公司简称为G公司。下列所有分析中用到的原始数据均真实来自该公司公开发布的历年年报。G公司2022年经中国证监会核准在深圳证券交易所挂牌上市。目前，公司总股本5.9亿股，资产总值24亿元，是一家规模较大、资金及技术实力雄厚、对市场具有较大影响力的企业。

该公司历年主要财务数据如表1。

表1中波及的计算公式如下：

营运资本增加=本年营运资本-上年营运资本=〔本年流动资产-本年流动负债〕-〔上年流动资产-上年流动负债〕

资本支出增加=固定资产增加额+项目物资增加额+在建项目增加额

自由现金流=EBIT×〔1-所得税税率〕+折旧-资本性支出增加-营运资本增加

根据表1提供的数据，本文采取公式〔2〕进行估值，即：

V0=■■+■

V0表示当前公司价值，FCFFt表示t期公司自由现金流量，FCFFT+1表示T+1期公司自由现金流量，WACC表示加权资本本钱，g表示公司增长率。从此公式看，关键是要估计未来几期的公司自由现金流量FCFF，以及加权资本本钱WACC及公司增长率g。分别估计如下：

〔一〕用灰色模型对未来几期FCFF的估计

该公司上市时间短，使用它全部年报加上上市前3年的审计公报，笔者才得到6年的自由现金流数据〔表2〕，是典型的小样本、贫信息的不确定系统，正是灰色建模可以有所作为的地方。

第一步，求累加生成数据序列x〔1〕〔k〕。

根据表2中提供的原序列，逐一累加可得：

x〔1〕〔k〕=［x〔1〕〔1〕，x〔1〕〔2〕，∧x〔1〕〔n〕］

=〔1.35，2.93，4.69，6.42，7.48，9.09〕

第二步，确定数据矩阵X，Y。

将累加生成序列的数值代入，可得：

X=-■［x〔1〕〔1〕+x〔1〕〔2〕］-■［x〔1〕〔2〕+x〔1〕〔3〕］M-■［x〔1〕〔n-1〕+x〔1〕〔n〕］=-2.141-3.811-5.561-6.951-8.291

Y=x〔0〕〔2〕x〔0〕〔3〕Mx〔0〕〔n〕=1.581.761.731.061.61E=11111

第三步，用最小二乘法求参数列a，u。

Y=aX+uE

《《=au=〔XTX〕-1XTY=0.04141.7693

这一步波及的手工计算量虽然很大，但并非不易得解。如果使用MATLAB软件计算，那么可以迅速得解。

第四步，建立生成数据序列模型，求得■〔1〕〔k〕的叙述式。

■〔1〕〔k+1〕=x〔0〕〔1〕-■e-ak+■

=〔1.35-■〕e-0.0414k+■

=-41.387e-0.0414k+42.737〔6〕

第五步，求得■〔0〕〔k〕的模拟值。

由上式可得：

■〔1〕=［■〔1〕，■〔2〕，■〔3〕，■〔4〕，■〔5〕，■〔6〕］

=〔1.35，3.028，4.639，6.184，7.666，9.089〕

复原出■〔0〕〔k〕的模拟值：

■〔0〕〔k〕=■〔1〕〔k〕-■〔1〕〔k-1〕

■〔0〕〔k〕=〔1.35，1.678，1.0611，1.545，1.482，1.423〕

第六步，进行误差检验。

与表2中的原序列比照，计算出平均相对误差为12.8%，按照灰色理论的规范接近三级，是可用的。

第七步，用通过检验的■〔1〕〔k〕式预测未来的值。

将k=6代入〔6〕式，得■〔1〕〔7〕=10.453。再复原出：■〔0〕〔7〕=1.364。这就是2022年自由现金流的估计值。

依次改变k的取值，就可以估计出今后数年的值。

第八步，建立新陈代谢模型。

具体而言，估算出2022年的值就淘汰表2中2022年的值，然后再建立新的原序列，重复上面第一步到第七步的计算，得出2022年的估计值，然后再淘汰表2中2022年的值，依次类推，得出未来几年的估计值。这样做虽然比从第七步直接利用〔6〕式估计未来几年值要麻烦得多，但却更科学，更精确。看似很大的计算量，如果借助MATLAB软件，一般不到半小时就能全部计算出来。表3是笔者采用新陈代谢模型的计算结果。

〔二〕加权资本本钱WACC的估计

WACC=KB〔1-t〕■+KE■

其中KB是债务资本本钱，为了稳健性，选用2022年6月末银行贷款利率中的最大值6.55%；t是G公司作为高新技术公司享受的所得税率15%；E/A是股东权益比例，选用2022―2022年6年的均值79.85%；B/A是负债比例，为20.15%；KE为普通股的资本本钱，采用CAPM模型计算：

KE=Rf+《茁〔Rm-Rf〕=3.05%+0.684×〔9.02%-3.05%〕

=7.13%

其中Rf是无风险利率，本文选取的是2022―2022年7年期国债利率的复利修正值3.05%。G公司的《茁系数以及市场收益率Rm计算繁琐，受篇幅限制，这里只给出结果，分别是0.684和9.02%。因此可以算出：

WACC=6.55%×0.85×0.2022+7.13%×0.7985

=6.84%

〔三〕公司增长率g的估计

本文选用公司2022―2022年主营业务的复合增长率5.7%作为公司未来的增长率。

〔四〕公司价值的估算

将上面已经估算出来的数据代入公式〔2〕，可得：

V0=■+■+■+■+■=73〔亿元〕

73除以5.9亿的总股本，每股内在价值为12.37元。