四川省遂宁市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章【人教版九年级】

四川省遂宁市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章

【人教版九年级】

一.一元二次方程的解（共1小题）

1.（2022•遂宁）已知m为方程7+3x-2022=0的根，那么〃尸+2,川-2025〃?+2022的值为

（）

A.-2022B.0C.2022D.4044

二.反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）

2.（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该

点为“黎点为例如（-1,1）,（2022,-2022）都是“黎点”.

（1）求双曲线丫=二9上的“黎点”；

X

（2）若抛物线了二以2-7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当。＞1时，求c

的取值范围.

三.反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）

3.（2022•遂宁）己知一次函数-1（。为常数）与x轴交于点A,与反比例函数”=

旦交于8、C两点，B点的横坐标为-2.

x

（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；

（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围；

（3）若点B与点。关于原点成中心对称，求出△ACZ）的面积.

4.（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0,2）,点3的坐标为

（1,0）,连接AB,以AB为边在第一象限内作正方形ABCQ,直线8。交双曲线丫=上（4

X

/0）于。、E两点，连接CE,交x轴于点尸.

（1）求双曲线y=K（左70）和直线OE的解析式.

四.二次函数图象与系数的关系（共2小题）

5.（2020•遂宁）二次函数了=—+桁+。（aWO）的图象如图所示，对称轴为直线x=-

B.abc>0

C.a-c<0

D.a扇+bm2a-b（加为任意实数）

6.（2022•遂宁）抛物线y=/+bx+c（a,b,c为常数）的部分图象如图所示，设，〃=

五.抛物线与X轴的交点（共2小题）

7.（2021•遂宁）已知二次函数>=/+法+。（a#0）的图象如图所示，有下列5个结论:

①abc>0；

②廿<4ac；

③2c<36；

@a+h>m（am+b）（机Wl）；

⑤若方程lo^+Zw+cLl有四个根，则这四个根的和为2.

其中正确的结论有（）

8.（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=ai/+bix+ci（ai#0,“i、bi、ci是常数）与尸的^+如+盘（。2

W0,“2、a、C2是常数）满足“1+42=0，b\—bi，C\+C2—Q,则这两个函数互为“旋转

函数求函数y=27-3x+l的旋转函数，小明是这样思考的，由函数yulr2-3x+l可

知，m=2,b\=-3,ci=l,根据ai+a2=0,bi=b2>ci+f2=0,求出“2,bi,◎就能确

定这个函数的旋转函数.

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y=/-4x+3的旋转函数.

（2）若函数y=5/+（m-1）x+n与y=-5A-2-nx-3互为旋转函数，求（.m+n）2020的

值.

（3）已知函数），=2（x-1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点、,与y轴交于点C,点

A、B、C关于原点的对称点分别是4、Bi、Ci，试求证：经过点4、Bi、G的二次函

数与y=2（x-1）（x+3）互为“旋转函数”.

六.二次函数的应用（共2小题）

9.（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么

一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10

件，设T恤的销售单价提高x元.

（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问

7恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种7恤获得的利润最大？最大

利润是多少元？

10.（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨

舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、8两种花苗.据了解，购买A种花

苗3盆，8种花苗5盆，则需210元；购买4种花苗4盆，8种花苗10盆，则需380元.

（1）求A、8两种花苗的单价分别是多少元？

（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室.种

植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B

种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？

最多准备多少钱？

七.二次函数综合题（共3小题）

11.（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=，+6x+c与x轴交于A、8两点，

与y轴交于点C,其中点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,E为AABC边A8上的一动点，尸为8c边上的一动点，。点坐标为（0,

-2）,求△OEF周长的最小值；

（3）如图2,N为射线C8上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、

N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d,△AMN面积为2d,当△AMN为等腰

三角形时，求点N的坐标.

图1图2备用图

12.(2021•遂宁)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和8(-3,0)两点，与y轴交

于C(0,-3),对称轴为直线x=-l,直线y=-2x+/n经过点A,且与y轴交于点£),

与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式和m的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得以E、P为顶点的三角形与△AO。相似，若存在，

求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)直线＞=1上有M、N两点(M在N的左侧)，且MN=2,若将线段MN在直线y

=1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的

备用图

13.(2020•遂宁)如图，抛物线y=a/+%x+c(aWO)的图象经过A(1,0),B(3,0),C

(0,6)三点.

(1)求抛物线的解析式.

（2）抛物线的顶点/与对称轴/上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D,直

线BE交于点E,若直线BE将△ABO的面积分为1：2两部分，求点E的坐标.

（3）P为抛物线上的一动点，。为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点尸，使A、D、

八.扇形面积的计算（共1小题）

14.（2021•遂宁）如图，在aABC中，AB=AC,以A8为直径的。。分别与BC,AC交于

点。，E,过点。作。尺LAC,垂足为点F,若。。的半径为4百，ZC£>F=15°,则

阴影部分的面积为（）

A.16n-1273B.16n-24百C.20n-1273D.2(hr-2473

九.圆锥的计算（共1小题）

15.（2022•遂宁）如图，圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是（)

p

C.175ncw2D.350nc”[2

一十.中心对称图形（共3小题）

16.（2022•遂宁）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

科克曲线笛卡尔心形线阿基米德螺旋线赵爽弦图

A.科克曲线B.笛卡尔心形线

C.阿基米德螺旋线D.赵爽弦图

17.（2021•遂宁）下列说法正确的是（）

A.角平分线上的点到角两边的距离相等

B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.在代数式工，2A-,工，985,9+26,工+y中，A,JL,匹+26是分式

a兀a3a兀a

D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是4

18.（2020•遂宁）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（)

A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形

一十一.相似三角形的判定与性质（共6小题）

19.（2022•遂宁）如图，正方形48co与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于

点O,GA与BC交于点P,连接。£＞、。8,则下列结论一定正确的是（）

①EC_LAG；②/\OBPs/\CAP；③08平分/CBG；④乙40。=45°；

E

A

A.①③B.①②③C.②③D.①如

20.（2021•遂宁）如图，在△ABC中,点。、E分别是AB、AC的中点，若△AQE的面积

是3。?？，则四边形BQEC的面积为（）

21.（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，NABC的平分线交AC于点E,交4力于

点尸，交C£>的延长线于点G,若AF=2F£>,则理的值为（）

2334

22.（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE,分别交

BD、AC于点尸、Q,过点尸作PFLAE交CB的延长线于F,下列结论：

®ZAED+ZEAC+ZEDB^90a,

②AP=FP,

@AE=J^-AO,

2

④若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形ABCD的面积为36,

⑤CE，EF=EQ，DE.

其中正确的结论有（

A.5个B.4个C.3个D.2个

23.（2021•遂宁）如图，正方形中，点E是CD边上一点，连结BE,以BE为对角

线作正方形BGE凡边E尸与正方形A8CO的对角线BD相交于点”，连结4凡有以下

五个结论：

①NABF=NDBE；

③4尸_LBO；

④28G2=8H・B£）；

⑤若CE：DE=i：3,则BH：DH=17：16.

你认为其中正确的是.（填写序号）

24.（2022•遂宁）如图是△4BC的外接圆，点。在8C上，NBAC的角平分线交。。

于点。，连接BQ,CD,过点。作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.

（1）求证：PO是。。的切线；

（2）求证：△ABDSXDCP：

（3）若AB=6,AC=8,求点。到4。的距离.

A

D

一十二.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）

25.（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面

在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角NG4E=50.2°,台阶AB长

26米，台阶坡面的坡度i=5：12,然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角

63.4°,则塔顶到地面的高度EF约为多少米.

(参考数据：tan50.200.20,tan63.4°=2.00,sin50.2°=0.77,sin63.4°口0.89)

26.（2020•遂宁）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、

2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点8垂直起飞到达点4

处，测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部尸的俯角为40°,此时航拍无人

机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D,

点8为CQ的中点，求2号楼的高度.（结果精确到0.1）

(参考数据sin40°^0.64,cos40°以0.77,tan40°以0.84,sin67°弋0.92,cos67°弋0.39,

tan67°弋2.36)

671401

2

1号

5楼

面

地

一十三.解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）

27.（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、

C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向,C在北偏东30°

方向，他从4处走了20米到达8处，又在B处测得C在北偏东60°方向.

（1）求/C的度数;

（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）.

28.（2021•遂宁）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（）

一十五.列表法与树状图法（共3小题）

29.（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激

发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣.某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的

人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项）,

制作了如图统计图（部分信息未给出）.

，人数

50

40

40

3020

20

10

0花样短道自由式单板

选项

滑冰速滑滑雪滑雪

请你根据图中提供的信息解答下列问题:

(1)在这次调查中，一共调查了名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好

花样滑冰运动的学生有人；

(2)补全条形统计图；

(3)把短道速滑记为A、花样滑冰记为8、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为。，学校

将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项

目中恰有一项为自由式滑雪C的概率.

30.(2021•遂宁)我市于2021年5月22-23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全

国各地选手参加.现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查

(参与调查的同学只能选择其中一项)，并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请

根据统计图表回答下列问题：

类别频数频率

不了解10tn

了解很少160.32

基本了解b

很了解4n

合计a1

(1)根据以上信息可知：a—,b=,m=,n—；

(2)补全条形统计图；

(3)估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人;

(4)“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的

“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到

一男一女的概率是否相同.

31.（2020•遂宁）端午节是中国的传统节日.今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了

河东某居民区市民对A、B、C、力四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘

制成如图两幅不完整统计图:

（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为度.根据题中信息补全条形统计图.

（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃。种粽子的有人.

（4）若有外型完全相同的A、B、C、。粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表

或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率.

四川省遂宁市3年（2020-2022）中考数学真题汇编-第21-29章

【人教版九年级】

参考答案与试题解析

一元二次方程的解（共1小题）

1.（2022•遂宁）己知m为方程/+3x-2022=0的根，那么m3+2m2-2025ffl+2022的值为

（）

A.-2022B.0C.2022D.4044

【解答】解：:加为方程7+3尸2022=0的根，

：.n^+3tn-2022=0,

祖=2022,

.•.原式f3+3切2-*_3切-2022^+2022

—m（〃，+3加）--2022/M+2022

=2022加-2022-2022，〃+2022

=0.

故选:B.

二.反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）

2.（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该

点为“黎点”.例如（-1,1）,（2022,-2022）都是“黎点”.

（1）求双曲线>=二9上的“黎点”；

X

（2）若抛物线y=or2-7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c

的取值范围.

【解答】解：（1）设双曲线）一二2上的“黎点”为（/»,~m）,

X

则有-m=-f

m

・"=±3,

经检验，加=±3的分式方程的解，

・・・双曲线>=二殳上的“黎点”为（3,-3）或（-3,3）；

x

（2）•.•抛物线y=o?-7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”,

...方程ar2-7x+c=-x有且只有一个解，

即ox2-6x+c=0,A—36-44c=0,

.•.ac=9,

：.a=—,

c

A0<c<9.

三.反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）

3.（2022•遂宁）已知一次函数-1（〃为常数）与x轴交于点A,与反比例函数”=

旦交于8、C两点，8点的横坐标为-2.

（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；

（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围;

（3）若点3与点。关于原点成中心对称，求出△AC。的面积.

A>2=—=-3,

--2

...点8的坐标为（-2,-3）,

；点8（-2,-3）在一次函数yi=ax-1的图象上,

/.-3=aX(-2)-1,

解得a=\,

一次函数的解析式为y=x-1,

Vy=x-1,

・..x=0时，y=-1；x=l时，y=0；

・••图象过点(0,-1),(1,0),

函数图象如右图所示；

y=x-1

⑵6，

y=­X

解得，x=3或(x=-2,

ly=2ly=-3

；一次函数yi=or-1(a为常数)与反比例函数”=且交于8、C两点，8点的横坐标

x

为-2,

.♦.点C的坐标为(3,2),

由图象可得，当时对应自变量x的取值范围是-2或0<x<3；

(3);•点B(-2,-3)与点。关于原点成中心对称，

.•.点D(2,3),

作。ELc轴交AC于点E,

将x=2代入y=x-1,得y=1,

・C-c_(3-1)X(2-1)(3-1)X(3-2)

22

即△ACO的面积是2.

4.(2020•遂宁)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,2),点B的坐标为

(1,0),连接AB,以A8为边在第一象限内作正方形ABC。，直线8。交双曲线旷=上(々

X

W0)于。、E两点,连接CE,交x轴于点F.

(1)求双曲线y=K(AWO)和直线QE的解析式.

【解答】解：(1)•••点A的坐标为(0,2),点8的坐标为(1,0),

：.OA=2,08=1,

作DM±y轴于M,

:四边形ABCD是正方形，

：.NBAD=90°,AB=AD,

：.ZOAB+ZDAM=90°,

'：ZOAB+ZABO=90Q,

：.ZDAM=ZABO,

在△408和△DMA中

<ZABO=ZDAM

<ZAOB=ZDMA=90°>

AB=DA

A(A4S),

：.AM=OB^\,DM=OA=2,

：.D(2,3),

•双曲线y=K(氏/0)经过。点，

X

・・・Z=2X3=6,

双曲线为>=反，

X

设直线DE的解析式为了=如+〃，

把5(1,0),D(2,3)代入得卜由,解得fm=3,

I2m+n=3In=-3

・・・直线DE的解析式为y=3x-3；

(2)连接AC,交.BD于N,

・・•四边形A3CO是正方形，

・・・3。垂直平分AC,AC=BD,

y=3x-3

X=-l

解<6得

y=­y=y=-6

X

：.E(-1,-6),

，：B(1,0),D(2,3),

**-DE=yj(2+1)2+(3+6)2=3?DB={(2-])2+32=^/75,

:.CN=LBD=^^-,

22

四.二次函数图象与系数的关系（共2小题）

5.（2020•遂宁）二次函数），=/+灰+°（aWO）的图象如图所示，对称轴为直线x=-l,

B.abc>0

C.a-cVO

D.anr+bm^a-b(加为任意实数)

【解答】解：由图象可得：a>0,c>0,△=/-4ac>0,--1,

2a

.•方=为>0,h2>4ac,故A选项不合题意，

故B选项不合题意，

当x=-1时，yVO,

••a-b+c〈O,

:.-a+c<0,即a-c>0,故C选项符合题意，

当x=m时，y=atn1+bm+c,

当x=-1时，y有最小值为a-b+c,

/.anr+btn+c^a->c,

J.air^+bm^a-b,故D选项不合题意，

故选：C.

6.（2022•遂宁）抛物线yucV+fer+c（小b,c为常数）的部分图象如图所示，设机=

;抛物线对称轴在y轴左侧,

/.-旦<0,

2a

：.b>0,

•.•抛物线经过（0,-2）,

/.c=-2,

•・,抛物线经过（1,0）,

a+b+c=O,

,・〃+/?=2,b=2~a.

:.m=a-h+c=a-(2-a)+(-2)=2a-4,

.•.y=ar2+(2-〃)x-2,

当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4,

・"=2-〃>0,

/.0<tz<2,

J-4<2a-4<0,

故答案为：-4VmV0.

五.抛物线与x轴的交点(共2小题)

7.(2021•遂宁)已知二次函数y=a/+bx+c(aWO)的图象如图所示，有下列5个结论:

①abc>0；

②臣V4ac；

③2cV3〃；

@a+h>m(am+h)(zwWl)；

⑤若方程I^有四个根，则这四个根的和为2.

【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则4<0.再结合对称轴上>0,得b

2a

>0.据二次函数图象与y轴正半轴相交得c>0.

•\abc<0.

①错.

②二次函数图象与x轴交于不同两点，则户-4“c>0.

,,.h2>4ac.

②错.

:.b=-2a.

又当x=-1时，)，V0.

即a-b+cVO.

：.2a-2b^2c<0.

：.-3什2cV0.

2c<3b.

・••③正确.

@V%=1时函数有最大值，

.,.当x=l时的y值大于当x=n?(m#1)时的y值，

即a+b+c>m(am+h)+c

a+b>m(am+b)成立，

...④正确.

⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=l有四个交点即可.

由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2,四个根的和为4.故

⑤错.

综上：③④正确，故选：A.

8.(2020•遂宁)阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数yuap？+bix+cim、从、ci是常数)与y=a2A2+历%+。2(42

#0,42、历、C2是常数)满足。1+“2=0,61=历，Cl+C2=0,则这两个函数互为“旋转

函数”.求函数y=2/-3x+l的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y=2/-3x+l可

知，ai=2,bi=-3,ci=l,根据〃1+。2=0,bi=b2,ci+c2=0,求出“2,历，。2就能确

定这个函数的旋转函数.

请思考小明的方法解决下面问题：

(1)写出函数y=7-4x+3的旋转函数.

(2)若函数y=5』+(m-1)x+〃与y=-5X2-“X-3互为旋转函数，求(m+n)2020

值.

(3)已知函数y=2(x-1)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点

A、B、C关于原点的对称点分别是Ai、Bi、Ci，试求证：经过点Ai、BI、CI的二次函

数与y=2G-I)(x+3)互为“旋转函数”.

【解答】解：(1)由y=7-4x+3函数可知，a\—\,i>i--4,ci=3,

<**cii+d2=0,b\=b2,ci+C2=0,

.•・〃2=-l，历=-4,C2=-3,

•••函数y=W-4x+3的“旋转函数”为y=-7-4x-3；

(2)•.,y=5x2+Cm-1)x+n与y=-57-nx-3互为“旋转函数"，

.Jm-l=-n

1n-3=0

解得：卜=-2,

ln=3

5+")2020=(-2+3)2020=].

(3)证明：当x=0时，y=2(x-1)(x+3)=-6,

.•.点C的坐标为(0,-6).

当y=0时，2(x-1)(x+3)=0,

解得：xi=l,X2=-3,

，点A的坐标为(1,0),点8的坐标为(-3,0).

•.•点A,B,C关于原点的对称点分别是Ai，Bi，C\,

AAi(-1,0),Bi(3,0),Ci(0,6).

设过点Ai,B\,Ci的二次函数解析式为y=a(x+l)(x-3),

将Ci(0,6)代入y=a(x+1)(x-3),得：6=-3a,

解得：a=-2,

过点Al，B\,Cj的二次函数解析式为y=-2(x+1)(x-3),即y=-2?+4x+6.

Vy=2(x-1)(x+3)=2X2+4X-6,

•*ci\——2,h\~~4fci-6,〃2=-2,〃2=4,(?2=6,

.•・QI+〃2=2+(-2)=0,bi=b2=4fa+c2=6+(-6)=0,

・・・经过点4,Bi，。的二次函数与函数y=2(x-1)(x+3)互为“旋转函数”.

六.二次函数的应用(共2小题)

9.(2021•遂宁)某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么

一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10

件，设T恤的销售单价提高x元.

(1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问

7恤的销售单价应提高多少元？

(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大

利润是多少元？

【解答】解：(1)设7恤的销售单价提高x元，

由题意列方程得：(x+40-30)(300-10x)=3360,

解得：xi=2或*2=18,

•••要尽可能减少库存，

；.X2=18不合题意，应舍去.

.••T恤的销售单价应提高2元，

答：T恤的销售单价应提高2元；

(2)设利润为M元，由题意可得：

M=(x+40-30)(300-10x),

=-10?+200x+3000,

=-10(x-10)2+4000,

.,.当x=10时，M最大值=4000元，

销售单价：40+10=50(元)，

答:当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元.

10.(2020•遂宁)新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨

舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗.据了解，购买A种花

苗3盆，8种花苗5盆，则需210元；购买4种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元.

(1)求A、8两种花苗的单价分别是多少元？

(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A、8两种花苗共12盆进行搭配装扮教室.种

植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B

种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？

最多准备多少钱？

【解答】解：(1)设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则［3'+5y=21°，解得(x=20,

l4x+10y=380|y=30

答：4、B两种花苗的单价分别是20元和30元;

（2）设购买B花苗。盆，则购买A花苗为（12-a）盆，设总费用为卬元,

由题意得：w=20（12-«）+（30-a）-a2+10a+240（0<a<12,且a取整数），

V-l<0.故w有最大值，当a=5时，w的最大值为265,当a=ll时，w的最小值为

229,

故本次购买至少准备229元，最多准备265元.

七.二次函数综合题（共3小题）

11.（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=7+fer+c与x轴交于A、B两点，

与y轴交于点C,其中点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,£为△ABC边AB上的一动点，/为BC边上的一动点，。点坐标为（0,

-2）,求△£>£：/周长的最小值；

（3）如图2,N为射线C8上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、

N位于直线4M的同侧，若例到x轴的距离为d,ZVIMN面积为2d,当△4MN为等腰

三角形时，求点N的坐标.

图1图2备用图

【解答】解：(1);抛物线y=?+fov+c经过点A(-1,0),点C(0,-3).

.fl-b+c=O

1c=_3

.fb=-2

,lc=-3,

抛物线的解析式为-2x-3；

（2）如图，设Qi为。关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接

D\E,DiF,D\Di.

由对称性可知£>E=O1E,DF=D2F,△£)《尸的周长=£>1£+£尸+。2巴

.•.当£>1，E.F.5共线时，△£)£厂的周长最小，最小值为£>I£>2的长,

令y=0,贝!!-2x-3=0,

解得x=-1或3,

：.B(3,0),

：.OB=OC=3,

...△BOC是等腰直角三角形，

YBC垂直平分。。2，且。(0，-2),

：.Di(1,-3),

31关于x轴对称，

(0,2),

:.D\D2=JD2c2+口1，2=VB2+12=^26，

：./\DEF的周长的最小值为面.

(3)到x轴距离为d,AB=4,连接BM.

SnABM=2d,

又,«•S^AMN=2d,

・・SAABM=SMMN，

・・・8,N到AM的距离相等，

,:B,N在4M的同侧,

：.AM//BN,

设直线BC的解析式为y=kx+m,

则有四7,

I3k+m=0

.fk=l

Tm=-3'

直线BC的解析式为y=x-3,

设直线AM的解析式为y=x+〃，

VA(-I,0),

/.直线AM的解析式为y=x+\,

由尸？，解得产T或卜=&

y=x-2x-32=0lv=5

：.M(4,5),

•.•点N在射线CB上，

...设N(t,r-3),

过点M作x轴的平行线/,过点N作y轴的平行线交x轴于点P,交直线/于点Q.

：.AM=5y/2>AN=d(t+i)2+(t-3)2,MN=yj(t-4)2+(t-8)1

•.•△AMV是等腰三角形，

当AM=AN时，5&(t+l)2+(t-3)2,

解得r=i士&T，

当时，5&{(t-4)2+(t-8)J

解得r=6士亚，

当AN=时，q(t+l)2+(t-3)2=V(t-4)2+(t-8)2，

解得t=l,

2

〈N在第一象限，

・1>3,

.丁的值为工，I+&L6+aT，

2

.•.点N的坐标为(工，1)或(I+&L-2+V21)或(6+&I，3+V21).

22

12.(2021•遂宁)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和8(-3,0)两点，与y轴交

于C(0,-3),对称轴为直线x=-l,直线y=-2x+m经过点A,且与y轴交于点。，

与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式和m的值；

(2)在y轴上是否存在点尸，使得以。、E、尸为顶点的三角形与△4。。相似，若存在，

求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)直线y=l上有M、N两点(〃在N的左侧)，且MN=2,若将线段MN在直线y

=1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的

备用图

【解答】解：(1)I•抛物线的对称轴x=-1,与x轴的交点为A,8(-3,0),

(1,0),

可以假设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),

把C(0,-3)代入得到，a=\,

抛物线的解析式为y=W+2x-3.

；直线y=-2"相经过点A(1,0),

.*.0—-2+m,

771—2.

(2)如图I中,

图1

•・,直线A尸的解析式为y=-2x+2,直线交y轴于。，与抛物线交于点E,

：.D(0,2),

由(y=-2x+2,解得(x=l即点A,或卜=-5,

y=x2+2x-3Iy=0ly=12

：.E(-5,12),

过点E作EP_Ly轴于P.

ZEPD=ZAOD=90°,ZEDP=ZODA,

：./\EDP^/\ADO,

：.P(0,12).

过点E作EP'_LDE交y轴于P',

同法可证，△「'DE^/XADO,

：.ZP'=/QAO,

/.tanZP7=tanZDAO,

•・•—EP_0D,

PP'OA

•••5_2,

PP'1

：.PP'=2.5,

：.P'(0,14.5),

综上所述，满足条件的点P的坐标为(0,12)或(0,14.5).

(3),:E,尸为定点,

...线段EF的长为定值，

当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，

如图2中，画出直线y=l,将点尸向左平移2个单位得到尸，

作点E关于直线y=l的对称点E',连接E'F'与直线y=l交于点M,过点F作FN

由作图可知，EM=E'M,FN=F'M,

'：E',M,F'三点共线,

：.EM+FN=E'M+F'M=E'F',此时EM+FN的值最小,

,/点F为直线y=-2JC+2与x=-1的交点，

：.F(-1,4),

：.F'(-3,4),

；E(-5,12),

：.E'(-5,-10),

如图，延长尸尸交线段EE'于W,

'：FF'〃直线y=l,

：.FWA.EE',

在中，EF=4EW2+FM={(12-4)2+(-1+5)2=4代,

在Rt^E'F'W中，E'F'=正M+F，w2=J(4+10)2+(-3+5)2=l蓊，

二四边形ME/W的周长的最小值=M氏尸%+后尸+例N=E'F'+E74MN=10&+4A而+2.

13.(2020•遂宁)如图，抛物线＞=0?+版+。(a#o)的图象经过A(1,0),B(3,0),C

(0,6)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线的顶点M与对称轴/上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点。，直

线BE交A。于点E,若直线BE将△ABO的面积分为1：2两部分，求点E的坐标.

(3)P为抛物线上的一动点，。为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P,使A、D、

P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)•.•抛物线y=o?+bx+c(a#0)的图象经过A(1,0),B(3,0).

，设抛物线解析式为：y=a(x-1)(x-3),

•.,抛物线y=a(x-1)(x-3)(4W0)的图象经过点C(0,6),

；.6=a(0-1)(0-3),

•••抛物线解析式为:y=2(A:-1)(x-3)=2?-&n-6；

(2)-8x+6=2(x-2)2-2,

顶点M的坐标为(2,-2),

抛物线的顶点M与对称轴/上的点N关于x轴对称,

:.点、N(2,2),

设直线AN解析式为：y=kx+b,

由题意可得：f°=k+b,

l2=2k+b

解得：卜=2,

1b=-2

二直线AN解析式为：y=2x-2,

(v=2x-2

联立方程组得：f,

,y=2x2-8X+6

x<=1fx=4

解得：Ji,\2?,

71=0(y2=6

点。(4,6),

S/\ABD~—^2X6=6，

2

设点E(wz,2m-2),

,直线BE将△AB。的面积分为1：2两部分，

1n

••S^ABE=—S^ABD=2或S^ABE=_SMBD=4，

33

.\JLX2X(2m-2)=2或工X2X(2〃？-2)=4,

22

.,.加=2或3,

.,.点E(2,2)或(3,4)；

(3)若A。为平行四边形的边，

•.•以A、。、P、。为顶点的四边形为平行四边形，

：.AD=PQ,

.".XD-XA—XP-XQ或X。-XA—XQ-xp,

.'.xp—4-1+2=5或xp—2-4+1=-1,

二点P坐标为(5,⑹或(-516)；

若4。为平行四边形的对角线，

•.•以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

.•.AD与P。互相平分,

.xA+xD_xp+xQ

2-"-2-'

・・xp=3,

・・・点尸坐标为（3,0）,

综上所述：当点尸坐标为（5,16）或（7,16）或（3,0）时，使