数学高考真题卷-全国3理数（含答案解析）

3.2018年全国统一考试-全国III卷(理科数学)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.己知集合A={x\x-\20},5=己1,2},则4n庐

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2)

2.(1+i)(2-i)=

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.中国古建筑借助梯卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫样头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小

长方体是桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视

图可以是

A.Lj_B.O_C.tiD.R

4.若sin。胃,则cos2a=量

A.-B.-C.--D,--

9999

5.的展开式中y的系数为

X

A.10B.20C.40D.80

6.直线x+y^=0分别与x轴,y轴交于A,8两点，点一在圆(牙乜尸斤」上,则△49。面积的取值范围是

A.[2,6]B.[4,8]

C.[V2,3V2]D.[2V2,3V2]

7.函数打。2的图象大致为

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为"各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员

中使用移动支付的人数,〃r=2.4,P(*4)(热6),则p=

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

9.△力宽的内角A,8,C的对边分别为a,b,c.若的面积为贮半；则C=

4

A..-JlcB.—1

23

C-D」

46

10.设4氏c〃是同一个半径为4的球的球面上四点,△4?。为等边三角形且其面积为9V3,则三棱锥D-ABC

体积的最大值为

A.12V3B.18V3

C.24V3D.54V3

1L设几“是双曲线(aX)"»)的左，右焦点，0是坐标原点.过人作。的一条渐近线的垂线,垂足

a2b2

为。.若I历I-V61OP\,则C的离心率为

A.V5B.2

C.V3D.V2

12.设a—logosO.3,logsO.3,则

A.a+b〈ab<OB.ab〈a+be

C.a+b<Q<abD.ab<0<a+b

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(l,2),6=(2,-2),。=(1,4).若c〃(2a+6),则.

14.曲线y=(ax+l)e"在点(o,1)处的切线的斜率为-2,则a=.

15.函数f(x)=cos(3xd)在［0,n］的零点个数为.

16.已知点."(-1,1)和抛物线C-.^x,过C的焦点且斜率为衣的直线与。交于A,6两点.若N4*90°,则

k=.・

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17戈1题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(12分)

等比数列｛&｝中，ai-1,备=4a3.

(1)求｛a｝的通项公式；

⑵记S为｛a„｝的前n项和.若&W3,求m.

18.(12分)

某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生

产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工

人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如图所示的茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数in,并将完成生产任务所需时间超过〃和不超过加的工人数

填入下面的列联表：

超不

过超

m过m

第一

种生

产方

式

第二

种生

产方

式

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附.片二____仆加产____

•(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'

P(停0.00.00.00

2A)50101

3.86.610.8

k

413528

19.(12分)

如图,边长为2的正方形4%所在的平面与半圆弧力所在平面垂直,"是比上异于C,。的点.

(1)证明：平面4监，平面BMC：

(2)当三棱锥体积最大时，求面始6与面所成二面角的正弦值.

20.(12分)

已知斜率为4的直线/与椭圆。：三号=1交于46两点，线段四的中点为材(1,而(症0).

43

(1)证明：

(2)设尸为，的右焦点，，为C上一点，且也标标=0.证明：|而"而U而I成等差数列，并求该数列的公

差.

21.(12分)

已知函数f(x)=(2+x+aV)In(1+x)-2x.

(1)若aR,证明:当T<x<0时，f{x)<0;当xX时，f{x)>0;

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.［选修4M:坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系中，0。的参数方程为(〃为参数)，过点(0,72)且倾斜角为。的直线,与

U=Sint/

0。交于46两点.

(1)求。的取值范围；

(2)求力6中点P的轨迹的参数方程.

23.［选修4T:不等式选讲］(10分)

设函数f(x)=|2x+\|+|x-11.

⑴画出尸f(x)的图象；

⑵当xG［0,+°°)时，/'(x)Wax+b,求a+b的最小值.

12345678910111213141516

1

CDABCADBCBCB-332

2

1.C【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查考生对基础知识的掌握情况，考查的核心素养是数

学运算.

【解析】由题意知,4=341},则4C/{1,2}.

2.D【考查目标】本题主要考查复数的乘法运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运

算.

【解析】(l*i)(2-i)=2-i+2i-i2^+i.

3.A【考查目标】本题主要考查三视图，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是直观想象.

【解析】由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看,桦头看不见,所以是虚线,结合梯头的位

置知选A.

4.B【考查目标】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运

算.

【解析】cos2。=1-2sin，a=1-2X(1)

5.C【考查目标】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学

运算.

【解析】九彳！(/产(|)三备2yt由10-3r^,得尸2,所以系的系数为熊X2M0.

6.A【考查目标】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想及考生的运算求解能力，考查

的核心素养是数学抽象、直观想象.

【解析】圆心⑵0)到直线的距离心嘤之我,所以点P到直线的距离de[V2,3/].根据直线的方程

V2

可知A,6两点的坐标分别为4(-2,0),8(0,-2),所以〃用2夜,所以△加P的面积S幸ABld\Md\.因为

[V2,3e],所以SG[2,6],即△49户面积的取值范围是[2,6].

7.D【考查目标】本题主要考查函数的图象，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运

算.

【解析】当xR时,y2排除A,B.由，=山。2/),得xR或产琉,结合三次函数的图象特征,知原函数

在(T,D上有三个极值点，所以排除C,故选D.

【技巧点拨】关于函数图象的选择题一般采用排除法处理.

8.B【考查目标】本题主要考查二项分布，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算、数

据分析.

【解析】由题意知，该群体的io位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,所以以刁00(1N)4.4,

6

所以pR.6或p=o.4.由/(K)例及6),得C*od(1-p)<Cf0P(1-P)\即(1R)所以RX).5,所以pR.6.

【关键点拨】解决本题的关键是准确判断问题是何种类型的分布.

9.C【考查目标】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求

解能力,考查的核心素养是数学运算.

【解析】根据题意及三角形的面积公式知;absinL吐:Y,所以sin产及一伸乙所以在

中，力

10.B【考查目标】本题主要考查三棱锥的外接球,考查考生的空间想象能力、运算求解能力，考查的核

心素养是直观想象、数学运算.

【解析】设等边三角形W的边长为x,则/sin60°玛曲,得产6.设△欣?的外接圆半径为r,则

27--解得尸2次,所以球心到△/8C所在平面的距离442-（2百尸之,则点〃到平面被7的最大距离

d\=d箱工,所以三棱锥，-体积的最大值曦gs△㈱*6^X96X6=18遍.

【关键点拨】解决本题的关键是求解点〃到平面4%的最大距离.

11.C【考查目标】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养

是直观想象、数学运算.

【解析】不妨设一条渐近线的方程为了当,则用到y斗的距离与挈a口,在RSK如中，出O|=c,所以

aaVa2+d2

PO\=a,所以I州|Fa,又|A0|二G所以在△AAO与Rt△月阳中，根据余弦定理得cosNPOR炉+©：函咛=-

2ac

cosZ/5fl^-A即3/+--（任/0、得3a=c所以e=^=^/3.

caf

【总结归纳】求离心率问题主要是根据题目中提供的几何关系建立关于a,c的方程或不等式进行求解.

12.B【考查目标】本题主要考查对数运算以及不等式的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解

能力,考查的核心素养是数学运算.

【解析1由a=logo,2（）.3得\=logo,3（）.2,由Z?-log20.3W~-logo.s2,所以H=logo,3（）.2ogo.72-1ogo.：?0.4,所以

0&三＜1,得0铛＜1.又dX,b＜0,所以助＜0,所以abCa+bC.

abab

13.|【考查目标】本题主要考查向量的坐标运算与向量平行，考查考生的运算求解能力，考查的核心素

养是数学运算.

【解析】2a+6=（4,2）,因为c=（l,4），且c〃（2a+6）,所以1X2N人即，号

14.-3【考查目标】本题主要考查导数的几何意义，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心

素养是数学运算.

【解析】/=（ax+l+a）e",由曲线在点91）处的切线的斜率为-2,得//,w=（ax+l+a）e""H="a=-2,所以

a=-3.

15.3【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考

查的核心素养是数学运算.

【解析】由题意知，cos（3*，）=0,所以3%弓三妹打，MZ,所以■白■,kUL,当公0时，当k=\

662939

时,X』，当kt时,x弋,均满足题意,所以函数f（x）在［0,H］的零点个数为3.

【技巧点拨】先由题意得x1■号,AGZ,然后可以根据提供的取值范围确定％的取值，但注意不要漏解.

16.2【考查目标】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能

力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算等.

【解析】解法一由题意知抛物线的焦点为（1,0）,则过。的焦点且斜率为4的直线方程为

0）,由卜手1）'消去y得如（*-1）Wx,即A-V-（2A-2*4）x+li力，设4（%,%），8（晶％）,则为xiX2=\.

（yz=4%,k2

由｛：2"消去x得"力（能尸1）,即尸4R,则yi<F2^,yi/2--4,由N4吩9。。，得瓦？•丽二（小+1,y\-

1）•（%+1,%T）二小照以1以2<1々%-5+现）*14将xLxix2=l与力+%f,力度=4代入，得kt.

解法二设抛物线的焦点为F,力屈,71）,BIXz,㈤，则凭=吵所以无无力（XE）,则4,取AB

的中点〃'（孙㈤，分别过点48作准线X=-1的垂线,垂足分别为小,"，又/4磔90。，点材在准线X=-1上,

所以!对代/曲3UAFl+lBFl）力（〃〃/〃朋。•又犷为四的中点，所以皿’平行于x轴，且为=1,所以

y\+yi=2,所以上2

17.【考查目标】本题主要考查等比数列的通项公式与前"项和公式的应用,考查考生的运算求解能力，

考查的核心素养是数学运算.

【解题思路】（1）根据题意,利用等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）的结论,直接利用等比数列的前

〃项和公式求解.

【解析】⑴设｛a｝的公比为4由题设得

由已知得自』",解得o4（舍去），Q=~2或q=2.

故a,,二（-2尸或&切二

⑵若&=（-2尸,则$告组.

由工33得（-2）"=-188,此方程没有正整数解.

若则SH"T.

由£43得2W^64,解得m事.

综上，m$.

【总结归纳】数列的通项公式与前〃项和公式是解决数列问题的基础，熟悉等差、等比数列的性质是解

决数列问题的关键.

18.【考查目标】本题主要考查茎叶图、独立性检验,考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心

素养是数学运算、数据分析.

【解题思路】(1)根据茎叶图中的数据特征分析即可得结论；(2)由茎叶图中的数据即可得中位数,根据中

位数补全列联表；(3)利用片进行判断.

【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中，有75碘工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种

生产方式的工人中,有75舔工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产

方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式

的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈

对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.

又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产

任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

⑵由茎叶图知屋等Q

列联表如下：

超过不超过

min

第一种生产

155

方式

第二种生产

515

方式

(3)由于片嘤笔黑=10%.635,所以有99螃把握认为两种生产方式的效率有差异.

【总结归纳】统计图表的数据提取是解决概率问题的基础，常见的统计图表有频率分布直方图、频率分

布表、茎叶图、扇形图、条形图等.

19.【考查目标】本题主要考查面面垂直的证明以及空间二面角的求解问题,考查考生的逻辑推理能力与

空间想象能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算.

【解题思路】(D在题目中的两个平面中选择一条直线证明该直线垂直于另外一个平面；(2)建立空间直

角坐标系,求得几何体体积最大时点〃的位置,利用两个平面的法向量的夹角求解即可.

【解析】⑴由题设知，平面CMDL平面ABCD,交线为CD.

因为BCA,CD,BCu平面ABCD,所以8cL平面CMD,故BCA.DM.

因为M为&上异于C〃的点,且比1为直径,所以DMVCM.

又BCCCM=C,所以〃匕平面BMC.

而。化平面AMD,故平面4切平面BMC.

(2)以〃为坐标原点,5?的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱锥材-4%体积最大时，材为先的中点.

由题设得〃(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),"(0,1,1),

1,1),AB=(0,2,0),M=(2,0,0).

设n=(x,y,z)是平面攻的法向量,则，，竺=°,即窗+j+z=6

可取〃=(1,0,2).

而是平面』@的法向量，因此cos而，若兽磬，

\n\\DA\5

sin<77,

所以面切8与面功力所成二面角的正弦值是等.

【总结归纳】空间线面位置关系的转化是证明线面位置关系的基本思路，分析问题和解决问题都必须围

绕这条线索进行，空间角的计算主要是通过建立空间直角坐标系进行求解.

20.【考查目标】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及等差数列的证明，考查数形结合思想，考查的

核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.

【解题思路】（1）利用直线的斜率、直线与椭圆的位置关系及中点，得到一个关于卬"的关系式,然后根

据加的取值范围即可求解；（2）利用题中的向量关系，表示出。的坐标及各线段的长度即可证明.

【解析】⑴设/（刘,㈤,以岛㈤，则苧监=1,学号=1.

4343

两式相减,并由3=4得手丹也•公0.

X1-X243

由题设知中=1,红署=砾于是k=^~.①

224m

由题设得0功专故人，

（2）由题意得F（l,0）.设P（X3,%）,则（必-1,④+（矛-1,必）+（版-1,必）=（0,0）.

由⑴及题设得才3=3-（入1<¥2）=1,%=-（力+%）--2/7?<0.

又点夕在C上，所以"号从而P（l,9,I而

于是何I刃是1-1）2++3（1-苧）之言

同理|丽=2-^.

所以|瓦t+|而=4]（XI+X2）=3.

故2|而|=|评IT方即|包|,|而而|成等差数列.

设该数列的公差为d,则

X2

2|f/|=|[FB\-|FA\=^\xy-X2I=i7（1+X2'）-4X1X2.②

将方当弋入磔导k=-\.

4

所以1的方程为y=-x£,代入。的方程,并整理得79-14对=0.

44

故X\+Xz2汨生』,代入②解得Id\驾会.

28Zo

所以该数列的公差为噤或誓.

【方法总结】直线与椭圆的位置关系主要是通过根与系数的关系表示出相应的“几何量”、“几何关

系”，因此要掌握常见的求“几何量”（如长度等）、“几何关系”（如平行、垂直等）的方法.

21.【考查目标】本题主要考查导数在研究不等式问题与极值问题中的应用，考查化归与转化思想、分类

讨论思想与数形结合思想的综合应用，考查的核心素养是数学抽象、数学运算.

【解题思路】（1）通过求导研究函数的单调性即可证明；（2）根据函数取得极值的条件，建立关于a的式子

求解.

【解析】⑴当aRBtf(x)=(2+x)ln(l+x)-2x"'(x)=ln(l+x)X

1+x

设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-忘,则g'(x),;声

当-1<Y<0时,g'(x)<0;当xX)时,g'(x)X).故当x>-\时,g(x)2g(0)O,

且仅当xR时,g(x)=0,从而/'(才)20,且仅当户0时，/'(x)R.

所以/Xx)在(T,+8)单调递增.

又/(0)4),故当T<x<0时，f(x)<0;当xX)时，f(x)A).

(2)(i)若a20,由⑴知，当xK)时，f(x)》(2+x)In(1+x)-2x>0=f(0),

这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.

(ii)若a<0,设函数为(x)/=ln(l+x)2%

2+x+ax2

由于当|x|<fnin{l,/—}0t,2+x^ax>0,故力(x)与F(x)符号相同.

又力(0)=/、(0)4故xR是f(x)的极大值点当且仅当才④是力(才)的极大值点.

,,/x_12(2+、+a*2).2%(i+2ax)_x2(azx2+4ax+6a+l)

'1+x(2+x+ax2)2(x+l)(ax2+x+2)2*

(2+x+ax2)2

如果6a+lX),则当且/x/Sin{l,J向时，方'(x)电故x=0不是方(x)的极大值点.

如果6a+l<0,则ifx*4ax4a+lO存在根x\<0,故当xG(小,0),且/x/<inin{1,J^}时，方'(x)<0,所以x=0不

是A(