六年级奥数图形题

六年级数形题223

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如果一个正方形的周长和一个圆周长相等，那么正方形的面积是圆面积的（．7

解：正方形边长为，则正方形的周长为4，圆形周长也是4那么圆形的半=4÷（2）=2/π正方形的面积1x1=1圆形的面积=（2/π）=4/正方的面积是圆面积的（4/ππ/4：正方形的面积大约是圆面积的%一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整图形的面例如，右图中，要求整个图形的积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积然后把它们相加就可以了（如图）。二、相减法：这种方法是将所求不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之.例，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出方形面积再减去里面圆的面积即可（如图）。

三、直接求法：这种方法是根据知条件，从整体出发直接求出不规则图形面.如下页右上图，欲求阴影部分的积，通过分析发现它是一个2，高4的三角形，就可以直接面积了（如图）。四、重新组合法：这种方法是将规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例，求图阴部面，以它开阴部分在正形4个处这采相法可求其积（图。五、辅助线法：这种方法是根据体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成干个基本规则图形然后再采用相加减解决即.如右图两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接作更简便（如图）。六、割补法：这种方法是把原图的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图，从而使问题得到解决例如如图欲阴部的积只把边形割下补左，样个影分积是方面积一（图.

七、平移法：这种方法是将图形某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新基本规则图形，便于求出面积.例，上最一，求影分积可沿间开左边方内阴部平移右正形内这整阴部恰一正形如）八、旋转法：这种方法是将图形某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本则的图形，便于求出面.例，求图1中影分面，将半形绕B点逆时方旋180°使A与C合从构如图2的子此阴部的积以成圆积去中等直三形面（图.九、对称添补法：这种方法是作原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图.原来图形积就是这个新图形面积的一半.例如，欲右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的称扇形ABD.形的面积的一半就是所求阴部分的面积（如图）。十、重叠法：这种方法是将所求图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥理”∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形叠的部分（如图.

1如，的长方，的方。么三形BCM的面积三形DCM面积之是少解：长方形ABCG的面积是28，方形DEFG的面积是20梯形ABEF的面积是51，从图中以看出，三角形BCM的积与三角形面积之差就等于梯ABEF的面积减去长方形的面积再减去长方形DEFG的面积，得到结果。2如所，方ABCD的影分面之为708四形BFGO的积________．解：四边形EFGO的面积三角形AFC+三形BDF-白色部分的面积三角形AFC+三角形BDF=长方面积的一半即60，白色部分的面积等于长方面积减去阴影部分的面积，即120-70=50所以四边形的面积:60-50=103、4.利用殊规律①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。③圆的面积占外接正方形面积的%。4在三角形中点EBC上的中，点是中线AE上的点，其AE，并且延BF与交于，如下所示。三角形ABC的面积为48请问三形AFD的面积为多少

六年级奥数下册：第五讲巧求积题

简单的面积计算是小学数学的一重要内.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会算这些图形的面.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容识别，而且容易计算上面左图是边长为4的正方形它的面积是4×4＝（右图是的长方形它的面积3×5＝15（格）上面左图是一个锐角三角形，它底是，高是，面积是（格）；右图是一个钝三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底5高是3，它的面积是5×3＝15（格）；右图是一个梯形上底是，下底是7，高是4，它的面积是（4+7）×4÷2（格）上面面积计算的单位用“格”，格就是一个小正方如果小正方形边长是1厘米1格就是1平厘米；如果小正方形边长是1米1格就方.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位1格就一个面积单位在这一讲中，我们直接用表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单.

一三形面用直线组成的图形，都可以划分若干个三角形来计算面三角形面积的计算公式是：三角形面积底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运.例右中BD长是4，DC长是，那么三角形的面积是三角形面积的多少倍呢解三角形ABD与三角形ADC的高.三角形ABD面积4×高÷2.三角形ADC面积=2×高÷因此三角形的面积是三角形ADC积的倍.意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条上的高就是三角形的高，所以每个三角形可看成有三个底，和相应的三条.例右中BD，DE的长分别是2，4，是线AE中点，三角形的高为4.求三角形DFE的面积解BC＝＋＋＝8.三角形ABC面积=8×4÷2＝16.我们把A和D连成线段，组成三形ADE，它与三角形ABC的相同，而DE长是4，也是BC的一，因此三角形面积是三角形ABC面积一半同样道理EFAE的半，三角形DFE面积是三角形ADE积的一.三角形DFE面积=16÷4＝4.

例右中长方形的长是20，宽是，求它的内阴影部分面.解ABEF也是一个长方形，它内部三个三角形阴影部分高都与BE一样长而三个三角形底边的长加起来，是FE长因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一.同样道理，FECD也是长方形，内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一.因此所有阴影的面积是长方形ABCD积的一半，也就是20×12÷2＝120.通过方格纸，我们还可以从另一途径来求.我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形成两个直角三角形后，图中每个直角三角都是某个长方形的一半，而长方形是由这若干个长方形拼因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积和是长方形ABCD积的的一半例右中，有四条线段的长度已经知道，还有个角是直角，那么四边ABCD（阴影部分）的面积是多少解把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，是底边，是，因此面积4×10÷2＝20.对三角形ADC来说，DC是底边高是，因此面积7×8÷2四边形ABCD面积=20＋＝48.

这一例题再一次告诉我们，钝角角形的高线有可能是在三角形的外.例在长为6的正方形内有一个三角形BEF，线AE＝3，DF＝2求三角形BEF的面积解要直接求出三角形BEF的面积困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形ABE面积=＝9.三角形BCF面积=6×（6-2）÷212.三角形DEF面积=2×）÷23.我们只要用正方形面积减去这三直角三角形的面积就能算出：三角形BEF面积=6×6-9-12-3＝12.例在图中ABCD是长方形，三条线段的长度图所示M是段DE的中，求四边形ABMD（阴影部分）的面积解四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形CE与三形的面积，然后用长方形ABCD的面积减去们，由此就可以求得四边形ABMD的面积把M与C用线段连起来，将三角DCE成两个三角三角形DCE的面积是7×2÷2因为M是线段DE的中点，三角DMC三角形面积相等，所以三角形MCE面积是7÷2因为BE＝8是CE＝2的4倍三角形MBE与角形MCE一样，因此三角形MBE面积是

×4＝14.长方形ABCD面积=7×（8）=70.四边形ABMD面积=70-7-14＝49.二有正形问先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形的两条直角一样长样的直角三角形叫做等腰直角三角形.它有一个（90度还有两个角都是度，通常在副三角尺有一个就是等腰直角三角.两个一样的等腰直角三角形，可拼成一个正方形，如图a）.四个一样的等腰直角三角形，也以拼成一个正方形，如图（b一个等腰直角三角形，当知道它直角边长，从图a）知，它的面积是直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图b），它的面积是斜边的平方÷4例右由六个等腰直角三角形组成.第一个三角两条直角边长是8.一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形面.解从前面的图形上可以知，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积8×8÷2＝32.

这一个图形的面积是32＋8＋4＋2＝63.例如图，两个长方形叠放在一起，小长形的2，A是大长方形一边的中点，并且三角形BC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分总面积是多少解为了说明的方便，在图上标上文字母，E，F三角形ABC的面积2×2÷2＝2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰角三角.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的角边一样长，因此三角形ADE面积=面积×＝4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样.因此三角形EFG面积=ABC面积÷＝1.阴影部分的总面积是4＝5.例如图，已知一个四边形ABCD的两条边的长＝7，BC＝3三个角的度数：角B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积解这个图形可以看作是一个等腰角三角形ADE切掉一个等腰直角三角形因为A是45°，角D是，角E是＝45°，

所以是等腰直角三角形，BCE是等腰直角三角形四边形ABCD的面积，是这两个腰直角三角形面积之差，即7×7÷2-3×3÷2＝20.这是1994小学数学奥林匹克决试.原来试题图上并没有画出虚线三角.参赛同学是不大容易到把图形补全成为等腰直角三角形.因此对这道题的人数不.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样就大错特错.这样做是45°这一条件还用得上吗形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何千万不要随便对图形下结论我们应该从题目中已的条件作为思考的线有45°和直角，你应首先考虑等腰直角角.现在我们转向正方形的问.例在右图11×15的方形内有四对正方（号相同的两个正方形为一对每一是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部）面积是多少解长方形的宽，是“一”与二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”“二”三个正方形的边长之和.长宽=15-11＝4是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-4×2＝3.中间小正方形面积=3×3＝9.如果把这一图形，画在方格纸上就一目了然.例从一块正方形土地中，划出一块宽为1米长方形土地（见图），剩下的长方形土面积是平方求划出的长方形土地的面积.

解剩下的长方形土地，我们已知长宽1（米）.还知道它的面积是平方米，那么否从这一面积求出长与宽之和呢如果能求出，那么与上面“差”算式就形成和差问题.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽.可是这个大正方形的中间还有一空它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长恰好是长方形的长与宽之差，等于1米现在，我们就可以算出大正方形积：×4+1×1＝64（平方米）64是8×8，大正方形边长是8米，就是说长方形的长宽8（米）.

因此长（8＋1）÷2＝（米）宽＝（米）.那么划出的长方形面积是×1＝4.5（平方米）例如右图正方形ABCD正方形EFGC并在一已知小正方形EFGC的边长是6求角形阴影部分）的面积.解四边形AECD是一个梯形它的底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=（小正方形边大正方形边长）×大正方形边长÷2三角形ADG是直角三角形，它的条直角边长DG=小正方形边长大正方形边长），因此三角形ADG面积（小正方形边+大正方形边长）×大正方形边长2.四边形AECD与三角形ADG面积样大四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形A与三角面积相等，都加上三角形面积后，有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半=6×6÷2＝18.十分有趣的是，影阴部分面积，与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关.三其的积这节着介求积常思和巧有些题起不，可给启的容少请者仔体.例画方纸的一用线成图（右）求的积.

解直计粗围的积困的我通扣周正形和角角来算.周小方有3个，面为1三形5个面为的角有1个，此成面是4×＝.例与本在题路是全同.例下中ABCD的方，AF长是4求影分角的面积解三形AEF中，我知一AF，但不道的多，接它的积困的如把扩到角AEB，底AB，是方的，是方的，B的长面就以出三角AEB的积长形面的半而大三形AFB是角角，的条角的是道，很易出的积.此三形AEF面积（角AEB面积-三角AFB面）＝8×6÷2-4×8÷2＝8.这例告我，时们难的形大易的形当然大部也容求，而接解了题前例9的解，是这思.例下图一长方草，方的是，是中有条路，条长形一是行四形那有部的积阴部）多

解我首要清，行边面有大.行边的积底高.图可看，是2高好长形宽.此个行边的积10×2的长形积等可设，这平四形成10×2的方，把横两都至上如页图，地分积阴部）是原一大，此草面=（16-2（10-2）＝例右是个同的角角叠一，阴部的积.解实上阴部是个形可它上、底高不知，能接求的积阴部与角合在起就原角三形你是看，ABCD也是形它三形BCE合一起也原角角.此梯ABCD的积阴部面一大梯形ABCD的上BC是角AD长去，就的长.此影分积于梯ABCD面=（8）×5÷2上两例都发们何不易的积换成易的积学这等变.要想这换的领首要高图的察力.例下是个角三形放一形的形.知AF，FE，EC都于3，，BD都等4.这图的积解两直三形面是容求的

三形ABC面积（3＋3＝18.三形CDE面积（4）×3÷2这个角角有个叠分-四形BCEG，只要去个叠分所图的积立可得.因AF＝EC＝3，所AGF，FGE，EGC是三面相的角.因CB＝BD＝4，以CGB，BGD是个积等三形2×三形DEC面积（三形GBC面积）＋2×三形GCE面）三形ABC面积（三角面）（角GCE面）四形BCEG面（三形GBC面积＋三形GCE面）（2×12＋18＝.所图面=12＋18-＝.例如页图，ABCG是4×7长形DEFG是长方.三形BCM与三角DEM面积之.解三形BCM与非影分起是形ABEF.角DEM与阴部合来两长形和.（角BCM积-（角DEM面）（梯ABEF面积-两个方面之（7）×＋2）÷2-（4×7＋）

例上图，长方内了些线已边有块积别13那么中影分面积多解所的阴分恰是角ABC与角的公共分而积，49，35这三块是方中有被角ABC三形CDE盖住的分因（角ABC面积+三形CDE面）（13＋49＋35）＝长形积＋阴部面）.三形ABC底长形长高长形宽三角DE，底长形宽高长形.此三形ABC面积，三形CDE面积都长形积一，就阴部面=13＋4935一、四种常见几何体的平面展开1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开平可以得到它的平面展开图一展开图是由六个全等的正形组成的，见图6―1。图6─l只是正方体平面展开图一种画法，还有别的画法（从略）。2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此等的长方形组成的，见图6。图6―2只长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6―3就是柱的平面展开图。4.（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥侧面展开图。具体图形见图6―4。二、四种常见几何体表面积与体公式1.长方体长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a长方体的体积=a×b×c（这里a、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体正方体的表面积=6×a正方体的体积=a（这里a为正方的棱长）。3.圆柱体圆柱体的侧面积=2πRh圆柱体的全面积=2πRh+2πR=2πR（h+R圆柱体的体积=πRh（这里R表圆柱体底面圆的半径h表示圆柱的高）。4.圆锥体圆锥体的侧面积=πRl圆锥体的全面积=πR

2母线长与高）。三例选例

图6中的几何体是一个正方，图6―6是这个正方体的一个平面展开图，图6―7）、（b、（c也是这个正方体的平面展开图，每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。分与：图6―5和图6中可知：

与；

与；

与

互相处于相对面的位置上。只要在图6―7

1111（a）、（b）、）三个展开中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白上的图案便可以补上。先看图6中的（），仔细观可知14，3

处在互为对面的位置上。再看图6中的（），同上，，2与

处在互为对面的位置上。最后再看图6中的（c），同，，2在互为对面的位置上。图6―7（a）、（b）、（c）标数字的空白面上的图案见图―8中的（）、（b）、（c）。例

图6―9中的几何体是一个长方，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、C平面与长方体相交所得到的图形）、Q分为棱A、B的点，请在此长方体的平面展图上，出线段、CQQP来。

分与：要能正确画出图―9中长方体的平面展开图，问题便迎刃而解。图6―10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、PA。例

在图6―11中M是圆柱体的一条母线上且位于上、下底面上的两点，若M点绕圆柱体的侧面到达N沿怎么样的路线路程最短分与：圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，出圆柱的侧面展开图，见6―12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展图的长方形的一个顶点达不相邻的另一个顶点N。而两点以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开中长方形的一条对角线，见图6―12和图6―13。

22222222例

图6中的几何体是一棱长为4厘米正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径厘米深为1厘米的圆柱形的孔，求打后几何体的表面积是多少（π=）分与：为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘，底面圆的半径为1厘米。正方体的表面积为4×6=96（平厘米）一个圆柱的侧面积为2π×1×1=（平方厘米）几何体的表面积为96+×6=（平厘米）答：（略）例

图6是由18个边长为1厘的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少分与：图6―15中可以看出18个小正方体一共摆了三层，第层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘，所以上面的表面积为1×9=9（平方米）左面的表面积为1×7=7（平方米）

前面的表面积为1×8=8（平方米）几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=

答：（略）

例

图6中所示图形是一个底面直径为20厘的装有一部分水的圆柱形玻璃杯水中放着一个面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米（）分与：为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就水面下降的高度。因为圆锥形铅锤的体积为设水面下降的高度为x，则小圆的体积为（20÷2×x=100πx（立方厘米）所以有下列方程：60π=100πx，解此方程得：x=（厘米）答：铅锤取出后，杯中水面下降厘米。例截面直径为米的一根圆钢成两段后两段表面积的为平方分米原来那根圆钢的体积是多π=）分与：据圆柱体的体积公式体积=底面积高假设圆钢长为x因为将圆钢截成两段后两段表面积的和等于圆钢的侧面积加上四个底面的面积，所以有下面式子：2π×（2÷2π×（2÷2）=2πx+4π根据题目中给出的已知条件，可下面方程：2πx+4π=解方程：

11例

圆钢的体积为π×）×10（立方分米）答：（略）。一个圆锥的侧面展开图是一个半为10厘米、圆心角为216°扇形，求此圆锥的体积是多少（π=分与：想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径高。按题意画图6。图6中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥的高，根据弧长公式：弧=2лR×n÷360（这里R是圆的半径n为弧对圆心角的度数），便可求出弧长来。个弧长就是底面圆的周长，再