（江苏专用）2023版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版

PAGEPAGE13第四章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(√)(3)不相等的角终边一定不相同.(×)(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.(√)(5)假设α∈(0，eq\f(π,2))，那么tanα>α>sinα.(√)(6)假设α为第一象限角，那么sinα＋cosα>1.(√)1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________.答案240°解析与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得eq\f(1,3)≤k<eq\f(4,3)，又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改编)圆心角为eq\f(π,3)弧度，半径为6的扇形的面积为________.答案6π解析扇形的面积为eq\f(1,2)×62×eq\f(π,3)＝6π.3.(教材改编)角α的终边与单位圆的交点为P(eq\f(\r(5),5)，－eq\f(2\r(5),5))，那么sinα＋cosα＝________.答案－eq\f(\r(5),5)解析因为sinα＝y＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝x＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα＋cosα＝－eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(5),5).4.设集合M＝{α|α＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，那么M∩N＝________.答案{－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)}解析分别取k＝－1，0，1，2，得α＝－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)，eq\f(2π,3).故M∩N＝{－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)}.5.函数y＝eq\r(2cosx－1)的定义域为________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥eq\f(1,2).由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示).∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).题型一角及其表示例1(1)假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在第________象限.(2)角α的终边在如下图阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为________________.答案(1)一或三(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)解析(1)当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角.所以α为第一或第三象限角.(2)∵在[0，2π)内，终边落在阴影局部角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，∴所求角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z).思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(1)终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合是__________________.(2)(2022·苏州模拟)假设角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，那么在[0，2π]内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角的个数为________.答案(1){α|α＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z}(2)3解析(1)在(0，π)内终边在直线y＝eq\r(3)x上的角为eq\f(π,3)，∴终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为{α|α＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z}.(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)，依题意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)≤2π，k∈Z，∴－eq\f(3,7)≤k≤eq\f(18,7)，∴k＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角为eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21)共三个.题型二弧度制例2(1)(2022·南京模拟)假设圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，那么其圆心角的弧度数是________.答案eq\r(2)解析设圆半径为r，那么圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为eq\r(2)r，∴圆心角的弧度数是eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2).(2)扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.①假设α＝100°，r＝2，求扇形的面积；②假设扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.解①S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5,9)π×4＝eq\f(10,9)π.②由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25.当r＝5时，l＝20－2×5＝10，α＝eq\f(l,r)＝2(rad).即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(1)将表的分针拨快10分钟，那么分针旋转过程中形成的角的弧度数是________.(2)假设圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为________.答案(1)－eq\f(π,3)(2)eq\r(3)解析(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的eq\f(1,6)，即为－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).(2)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，那么线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l＝eq\r(3)r，由弧长公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例3(1)(2022·徐州模拟)假设角θ的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，那么cosθ的值为________.(2)点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点，那么Q点的坐标为____________.答案(1)－eq\f(\r(6),4)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))解析(1)由题意知r＝eq\r(3＋m2)，∴sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m，∵m≠0，∴m＝±eq\r(5)，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，∴cosθ＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝eq\f(－\r(6),4).(2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).∴Q点的坐标为(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)).命题点2三角函数线例4函数y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定义域为__________________.答案[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z)解析要使原函数有意义，必须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1>0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2)，))如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z).思维升华(1)利用三角函数的定义，角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.(1)角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0.那么实数a的取值范围是________.(2)满足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合为________.答案(1)(－2，3](2){α|2kπ＋eq\f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z}解析(1)∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.(2)作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，那么OC与OD围成的区域(图中阴影局部)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq\f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z}.6.数形结合思想在三角函数中的应用典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐标为________.(2)(2022·盐城模拟)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________.思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集.解析(1)如下图，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，那么∠PCB＝2－eq\f(π,2)，所以PB＝sin(2－eq\f(π,2))＝－cos2，CB＝cos(2－eq\f(π,2))＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－sin2，1－cos2).(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)＜sinx＜eq\f(\r(3),2).利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).答案(1)(2－sin2，1－cos2)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)1.以下与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的选项是________.①2kπ＋45°(k∈Z) ②k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)③k·360°－315°(k∈Z) ④kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案③解析与eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.2.假设α是第三象限角，那么以下各式中不成立的是________.①sinα＋cosα＜0 ②tanα－sinα＜0③cosα－tanα＜0 ④tanαsinα＜0答案②解析α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，那么可排除①、③、④.3.(2022·镇江一模)α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，那么tanα＝________.答案－eq\f(\r(15),3)解析∵P(x，eq\r(5))，∴y＝eq\r(5).又cosα＝eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(x,r)，∴r＝2eq\r(2)，∴x2＋(eq\r(5))2＝(2eq\r(2))2，解得x＝±eq\r(3).由α是第二象限的角，得x＝－eq\r(3)，∴tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).4.点P(tanα，cosα)在第三象限，那么角α的终边在第________象限.答案二解析∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，cosα＜0，∴角α的终边在第二象限.5.给出以下各函数值：①sin(－1000°)； ②cos(－2200°)；③tan(－10)； ④eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17π,9)).其中符号为负的是________.答案③解析sin(－1000°)＝sin80°>0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17,9)π)＝eq\f(－sin\f(7π,10),tan\f(17π,9))>0.6.角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，假设角θ与角α的终边相同，那么y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为________.答案－1解析由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.7.在直角坐标系中，O是原点，A(eq\r(3)，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，那么B点坐标为__________.答案(－1，eq\r(3))解析依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3)).8.扇形的圆心角为eq\f(π,6)，面积为eq\f(π,3)，那么扇形的弧长等于________.答案eq\f(π,3)解析设扇形半径为r，弧长为l，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))9.设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，那么eq\f(θ,2)是第________象限角.答案二解析由θ是第三象限角，知eq\f(θ,2)为第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)≤0，综上知eq\f(θ,2)为第二象限角.10.在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为________.答案(eq\f(π,4)，eq\f(5π,4))解析如下图，找出在(0，2π)内，使sinx＝cosx的x值，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(5π,4)＝coseq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈(eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)).11.假设－eq\f(3π,4)<α<－eq\f(π,2)，那么sinα，cosα，tanα的大小关系是______________.答案sinα＜cosα＜tanα解析如图，在单位圆中，作出－eq\f(3π,4)＜α＜－eq\f(π,2)内的一个角及其正弦线，余弦线，正切线.由图知，OM＜MP＜AT，考虑方向可得MP＜OM＜AT，即sinα＜cosα＜tanα.12.角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ.解∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，∴x2＝1，即x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；当x＝－