（全国通用）2023高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入重点强化课2平面向量教师用书文新人教A版

PAGEPAGE1重点强化课(二)平面向量[复习导读]从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足根底知识和根本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形〞与“数〞两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1平面向量的线性运算(1)(2022·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，假设eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＋μeq\o(BD,\s\up8(→))，那么λ＋μ＝()图1A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C.eq\f(15,8) D．2(2)在▱ABCD中，AB＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b,3eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(NC,\s\up8(→))，M为BC的中点，那么eq\o(MN,\s\up8(→))＝________.(用a，b表示)【导学号：31222163】(1)B(2)－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b[(1)因为eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＋μeq\o(BD,\s\up8(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))＋μ(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up8(→))))＋μ(－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(5,3)，应选B.(2)如下图，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))＋eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)b－eq\f(3,4)a－eq\f(3,4)b＝－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b.][规律方法]1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个根本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法那么找关系；(4)化简结果．3．O在AB外，A，B，C三点共线，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝λeq\o(OB,\s\up8(→))＋μeq\o(OC,\s\up8(→))，那么有λ＋μ＝1.[对点训练1]设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋2eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，那么△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()【导学号：31222164】A．3 B．4C．5 D．6B[因为D为AB的中点，那么eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))，又eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋2eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\o(OC,\s\up8(→))，所以O为CD的中点．又因为D为AB的中点，所以S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，那么eq\f(S△ABC,SAOC)＝4.]重点2平面向量数量积的综合应用(2022·杭州模拟)两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足|eq\o(PM,\s\up8(→))|＝2|eq\o(PN,\s\up8(→))|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)假设点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝eq\o(GA,\s\up8(→))·eq\o(GB,\s\up8(→))，求f(a)的取值范围．[解](1)设P的坐标为(x，y)，那么eq\o(PM,\s\up8(→))＝(4－x，－y)，eq\o(PN,\s\up8(→))＝(1－x，－y)．∵动点P满足|eq\o(PM,\s\up8(→))|＝2|eq\o(PN,\s\up8(→))|，∴eq\r(4－x2＋y2)＝2eq\r(1－x2＋y2)，整理得x2＋y2＝4.4分(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，eq\r(4－a2))，B(a，－eq\r(4－a2))，∴f(a)＝eq\o(GA,\s\up8(→))·eq\o(GB,\s\up8(→))＝(0，eq\r(4－a2))·(0，－eq\r(4－a2))＝a2－4；6分(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝eq\f(2ak2,1＋k2)，x1x2＝eq\f(k2a2－4,1＋k2)，∴f(a)＝eq\o(GA,\s\up8(→))·eq\o(GB,\s\up8(→))＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.由(a)(b)得f(a)＝a2－4.10分∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，∴－2<a<2，∴0≤a2<4，∴－4≤a2－4<0，∴f(a)的取值范围是[－4,0).12分[规律方法]1.此题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．[对点训练2](1)a，b是单位向量，a·b＝0.假设向量c满足|c－a－b|＝1，那么|c|的最大值为()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)＋2(2)(2022·四川成都模拟)菱形ABCD的边长为2，∠B＝eq\f(π,3)，点P满足AP＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，λ∈R，假设eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝－3，那么λ的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)(1)C(2)A[(1)∵a，b是单位向量，且a·b＝0，∴|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，∴|a＋b|＝eq\r(2).又|c－a－b|＝1，∴|c|－|a＋b|≤|c－a－b|＝1.从而|c|≤|a＋b|＋1＝eq\r(2)＋1，∴|c|的最大值为eq\r(2)＋1.(2)法一：由题意可得eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝2×2cos60°＝2，eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))·(eq\o(BP,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→)))＝(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))·[(eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))－eq\o(BC,\s\up8(→))]＝(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))·[(λ－1)·eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))]＝(1－λ)eq\o(BA,\s\up8(→))2－eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋(1－λ)eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝eq\f(1,2)，应选A.法二：建立如下图的平面直角坐标系，那么B(2,0)，C(1，eq\r(3))，D(－1，eq\r(3))．令P(x,0)，由BD·eq\o(CP,\s\up8(→))＝(－3，eq\r(3))·(x－1，－eq\r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3，得x＝1.∵eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，∴λ＝eq\f(1,2).应选A.]重点3平面向量与三角函数的综合应用(2022·合肥二次质检)m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，1))，n＝(cosx,1)．(1)假设m∥n，求tanx的值；(2)假设函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调增区间．[解](1)由m∥n得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－cosx＝0，3分展开变形可得sinx＝eq\r(3)cosx，即tanx＝eq\r(3).5分(2)f(x)＝m·n＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(3,4)，7分由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z得－eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z.10分又因为x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).12分[规律方法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[对点训练3]O为坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(3sinα，cosα)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，且eq\o(OA,\s\up8(→))⊥eq\o(OB,\s\up8(→))，那么tanα的值为()【导学号：31222165】A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)A[由题意知6sin2α＋cosα·(5sinα－4cosα)＝0，即6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tanα－4＝0，由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，那么tanα<0，解得tanα＝－eq\f(4,3)，应选A.]重点强化训练(二)平面向量A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2022·石家庄模拟)a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，那么以下说法正确的选项是()【导学号：31222166】A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λbD[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.那么a与b共线同向，故D正确．]2．(2022·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，那么a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]3．(2022·北京高考)设a，b是向量，那么“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D[假设|a|＝|b|成立，那么以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，假设|a＋b|＝|a－b|成立，那么以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，假设|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(13)，α∈(0，π)，那么eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为()【导学号：31222167】A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2,3)π D.eq\f(5,6)πA[由题意，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋cosα，sinα)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3＋cosα2＋sin2α)＝eq\r(10＋6cosα)＝eq\r(13)，即cosα＝eq\f(1,2)，因为α∈(0，π)，所以α＝eq\f(π,3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).设eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为θ，那么cosθ＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|·|\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(3,2)\r(3),3×1)＝eq\f(\r(3),2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).]5．直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝eq\r(3)，那么eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值是()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4) D．0A[取AB的中点C，连接OC，AB＝eq\r(3)，那么AC＝eq\f(\r(3),2)，又因为OA＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠AOB))＝sin∠AOC＝eq\f(AC,OA)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠AOB＝120°，那么eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2).]二、填空题6．设O是坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(10，k)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(4,5)，假设A，B，C三点共线，那么实数k的值为________．【导学号：31222168】11或－2[由题意得eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k－4,7)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝(6，k－5)，所以(k－4)(k－5)＝6×7，k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]7．直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，其中O为原点，那么正实数a的值为________．2[由|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，知eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴|AB|＝2eq\r(2)，那么得点O到AB的距离d＝eq\r(2)，∴eq\f(|0×1＋1×0－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝2(a>0)．]8．在△ABC中，BC＝2，A＝eq\f(2π,3)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最小值为________．－eq\f(2,3)[由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·coseq\f(2π,3)≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，那么AB·AC≤eq\f(4,3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·coseq\f(2π,3)≥－eq\f(2,3)，(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))min＝－eq\f(2,3)，当且仅当AB＝AC时等号取得．]三、解答题9．在直角坐标系xOy中，点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R).【导学号：31222169】(1)假设m＝n＝eq\f(2,3)，求|eq\o(OP,\s\up6(→))|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．[解](1)∵m＝n＝eq\f(2,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,1)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(1,2)＋eq\f(2,3)(2,1)＝(2,2)，3分∴|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).5分(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))8分两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分10．设向量a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)假设|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解](1)由|a|2＝(eq\r(3)sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，从而sinx＝eq\f(1,2)，所以x＝eq\f(π,6).5分(2)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinx·cosx＋sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，8分当x＝eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))取最大值1.所以f(x)的最大值为eq\f(3,2).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2022·吉林延边模拟)向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝ma－2b，假设△ABC是以BC为斜边的直角三角形，那么m＝()A．－4 B．3C．－11 D．10C[a·b＝2×3×cos60°＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－OA＝(m－1)a－2b.∵AB⊥AC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，解得m＝－11.应选C.]2．(2022·浙江高考)平面向量a，b，|a