2023高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第5节指数与指数函数教师用书文北师大版

PAGEPAGE1第五节指数与指数函数[考纲]1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型．1．有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图像与性质1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)(－1)eq\f(2,4)＝(－1)eq\f(1,2)＝eq\r(－1).()(2)函数y＝2x－1是指数函数．()(3)假设am＜an(a＞0，且a≠1)，那么m＜n.()(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()A．－9 B．7C．－10 D．9B[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是()ABCDC[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不适宜；当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]4．(教材改编)0.2m＜0.2n，那么m________n【导学号：66482052】＞[设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由f(m)＜f(n)，∴m＞n.]5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，那么a的取值范围是________.【导学号：66482053】(1,2)[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]指数幂的运算化简求值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))－eq\f(1,2)－(0.01)0.5；(2)eq\f(a\f(2,3)·b－1－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5)).[解](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).6分(2)原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)·beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,a).12分[规律方法]1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法那么计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．[变式训练1]化简求值：(1)(0.027)－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\f(1,2)－(eq\r(2)－1)0；(2)eq\f(5,6)aeq\f(1,3)·b－2·(－3a－eq\f(1,2)b－1)÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2).[解](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,1000)))－eq\f(1,3)－72＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\f(1,2)－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.6分(2)原式＝－eq\f(5,2)a－eq\f(1,6)b－3÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2)＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,6)b－3÷(aeq\f(1,3)b－eq\f(3,2))＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,2)·b－eq\f(3,2)＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).12分指数函数的图像及应用(1)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是()(2)假设曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．(1)A[将函数解析式与图像比照分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．](2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图像如下图，由图像可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，8分那么b的取值范围是(0,1).12分[规律方法]指数函数图像的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.图2­5­1[变式训练2](1)函数f(x)＝ax－b的图像如图2­5­1，其中a，b为常数，那么以下结论正确的选项是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．(1)D(2)1[(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图像是在y＝ax的根底上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]指数函数的性质及应用☞角度1比拟指数式的大小(1)(2022·全国卷Ⅲ)a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)，那么()【导学号：66482054】A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)(2022·浙江高考)函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．假设f(a)≤|b|，那么a≤bB．假设f(a)≤2b，那么a≤bC．假设f(a)≥|b|，那么a≥bD．假设f(a)≥2b，那么a≥b(1)A(2)B[(1)a＝2eq\f(4,3)＝4eq\f(2,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)＝5eq\f(2,3).∵y＝xeq\f(2,3)在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.(2)∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.假设f(a)≤|b|，那么|a|≤|b|，A项错误．假设f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.假设f(a)≤2b，那么2b≥2a，故b≥a，B项正确．假设f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a☞角度2解简单的指数方程或不等式(2022·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．{x|－1＜x＜2}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或－1，2))[∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]☞角度3探究指数型函数的性质函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).(1)假设a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)假设f(x)有最大值3，求a的值；(3)假设f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，那么g(x)在区间(－∞，－2)上递增，2分在区间[－2，＋∞)上递减，又函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是减函数，因此f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).4分(2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1.8分(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，那么必有a＝0.12分[规律方法]1.比拟指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比拟大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比拟大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1〞的大小关系不确定时，要分类讨论．[思想与方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通