高考数学一轮复习专题九平面解析几何3椭圆综合篇课件新人教A版

考点一椭圆的定义及标准方程1.定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和①等于

常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数.注意若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2;若2a<|F1F2|,则动点的轨迹

不存在.考点清单(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为

+

=1(a>b>0).注意(1)焦点位置的判断焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大;焦点在y轴上⇔标准方程中

含y2项的分母较大.(2)a2=b2+c2,即a最大.2.标准方程3.焦点三角形(1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则

=b2tan

,其中∠F1PF2=θ.(2)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△PF1F2的周长为2(a+c).(3)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a.考点二椭圆的几何性质1.椭圆的方程与简单几何性质

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程②

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)一般方程Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)图形

焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a长轴长|A1A2|=2a短轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c离心率e=③

=

(0<e<1),2.常用结论(1)设P,A,B是中心在原点的椭圆上不同的三点,其中A,B两点关于原点对

称,且直线PA、PB的斜率都存在,则kPA·kPB=-

.注意适用于焦点在x轴上,当焦点在y轴上时,直线PA与PB的斜率之积为

定值-

.(2)P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到焦

点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.(3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为

,通径是最短的焦点弦.考点三直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系的判断把椭圆方程

+

=1(a>b>0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0(A≠0)的形式,则:Δ=B2-4AC直线与椭圆的位置关系Δ>0直线与椭圆相交,有两个公共点Δ=0直线与椭圆相切,有一个公共点Δ<0直线与椭圆相离,无公共点知识拓展点与椭圆的位置关系已知点P(x0,y0),椭圆

+

=1(a>b>0),则(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔

+

<1;(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔

+

=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔

+

>1.2.弦长公式设直线l:y=kx+m与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2).则|AB|=

;|AB|=

|x1-x2|=

;|AB|=

(k≠0).注意

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ≥0,|x1-x2|=

.3.弦中点问题设A(x1,y1),B(x2,y2)为弦端点坐标,P(x0,y0)为线段AB中点,其中k=

(x1≠x2).若椭圆方程为

+

=1(a>b>0),则k=-

.若椭圆方程为

+

=1(a>b>0),则k=-

.考法一与椭圆定义相关的问题知能拓展例1(1)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对

称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方

程为

.(2)过点M(0,1)的直线l交椭圆

+

=1于A、B两点,F为椭圆的右焦点,则△ABF周长的最大值为

.解题导引(1)由于P在圆上,故|PF1|为定值;M在PF2的垂直平分线上,则|

MF2|=|MP|,结合图形可知,|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|为定值,且大于|F1F2|,则M的轨迹是椭圆,进而求出方程.(2)要求△ABF周长最值,一种方法是找到取最值的几何位置,另一种方法

是建立周长关于变量的函数,从而求最值;结合本题,三边均变化,同时A,B

在椭圆上,考虑位置,由于|AB|≤|AF1|+|BF1|,当AB过F1时取“=”,因此△ABF的周长|AB|+|BF|+|AF|≤|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4a(a为椭圆长半轴的长).解析(1)如图所示,连接MF2,由题意知F2(1,0).∵直线m是线段PF2的垂直平分线,∴|MP|=|MF2|,又知|MP|+|MF1|=4,∴|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=2.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2.∴b2=3.∴点M的轨迹方程为

+

=1.(2)设椭圆的左焦点为F1.如图所示,连接AF1,BF1,由题意,可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-2,0),F(2,0),a=2

,又由椭圆的定义可得|AF|=4

-|AF1|,|BF|=4

-|BF1|,所以△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|=8

+|AB|-(|AF1|+|BF1|),显然|AF1|+|BF1|≥|AB|,当且仅当A,B,F1三点共线时周长最大,最大值为8

.答案(1)

+

=1(2)8

经典例题以下为教师用书专用例

(2019浙江高考数学仿真卷,3)以双曲线

-x2=1的顶点为焦点,离心率为

的椭圆的标准方程为

()A.

+

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1解析由题意得椭圆的焦点在y轴上,且c=

,由椭圆的离心率

=

⇒a=3,所以所求椭圆的标准方程为

+

=1,故选D.答案

D考法二椭圆离心率问题的求法例2(1)(2019江西南康中学第二次大联考,10)椭圆G:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足

·

=0,则椭圆离心率e的取值范围为()A.

B.

C.

D.

(2)(2020山东济南6月模拟,14)已知F1,F2分别是椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,AF2的中点P恰好落在y轴

上,若

·

=0,则椭圆C的离心率为

.解析(1)解法一:设点M的坐标为(x0,y0),∵

·

=0,F1(-c,0),F2(c,0),∴(x0+c)·(x0-c)+

=0,即

+

=c2①,又知点M在椭圆G上,∴

+

=1②,由①②联立结合a2-b2=c2解得

=

,由椭圆的性质可得0≤

≤a2,即

即

所以c2≥b2,又知b2=a2-c2,∴c2≥a2-c2,即2c2≥a2,解得e2≥

,又知0<e<1,∴

≤e<1,故选D.解法二:∵

·

=0,∴MF1⊥MF2,即△MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形,∵|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,∴椭圆的离心率e=

=

,又知(|MF1|+|MF2|)2≤2(|MF1|2+|MF2|2)=2|F1F2|2=8c2,∴|MF1|+|MF2|≤2

c,∴e=

≥

=

,当且仅当|MF1|=|MF2|=

c时,等号成立,又知0<e<1,∴e∈

.故选D.(2)由于AF2的中点P恰好落在y轴上,A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,所以AB过左焦点F1,且AB⊥F1F2,则不妨令A

,B

.因为P是AF2的中点,则P

.又F2(c,0),所以

=

.因为

=

,

·

=0,所以2c2-

=0,即2c=

.又b2=a2-c2,所以2ac=

(a2-c2),即

e2+2e-

=0,解得e=

或e=-

(舍去).答案(1)D(2)

经典例题以下为教师用书专用例

(2020四川南充顺庆月考,15)设点P是椭圆C:

+

=1上的动点,F为C的右焦点,定点A(2,1),则|PA|+|PF|的取值范围是

.解析如图,设椭圆左焦点为F',由椭圆方程

+

=1,得a=2

,∴|PF|=2a-|PF'|=4

-|PF'|,则|PA|+|PF|=4

+(|PA|-|PF'|)=4

-(|PF'|-|PA|).连接AF',当P在AF'的延长线上时,|PA|-|PF'|最大为|AF'|=

=

,∴|PA|+|PF|的最大值为4

+

;当P在F'A的延长线上时,|PF'|-|PA|最大为|AF'|=

=

,∴|PA|+|PF|的最小值为4

-

.∴|PA|+|PF|的取值范围为[4

-

,4

+

].答案

[4

-

,4

+

]考法三直线与椭圆位置关系问题的解法例3

(2020山东临沂、枣庄考前练,21)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,其左、右焦点分别为F1,F2,点P为坐标平面内的一点,且

=

,

·

=-

,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M为椭圆C的左顶点,A,B是椭圆C上两个不同的点,直线MA,MB的倾

斜角分别为α,β,且α+β=

.证明:直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.解析(1)设P点坐标为(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),则

=(-c-x0,-y0),

=(c-x0,-y0),由题意得

解得c2=3.∴c=

.又e=

=

,∴a=2,∴b2=a2-c2=1,∴所求椭圆C的方程为

+y2=1.(2)由题可知直线AB的斜率存在,则设直线AB方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).联立得

消去y得,(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,∴x1+x2=-

,x1x2=

,∵α+β=

,∴tanα·tanβ=1,设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1,∴

·

=1,即(x1+2)(x2+2)=y1y2,可化为(x1+2)·(x2+2)=(kx1+m)(kx2+m),∴(k2-1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2-4=0,∴(k2-1)

+(km-2)

+m2-4=0,化简得20k2-16km+3m2=0,解得m=2k或m=

k.当m=2k时,y=kx+2k,过点(-2,0),不合题意(舍去);当m=

k时,y=kx+

k,过点

,∴直线AB恒过定点

.方法总结1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过讨论直线方程与椭圆

方程组成的方程组的实数解组数来确定.一般通过消元得关于x(或y)的一

元二次方程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,

则直线与椭圆相离.2.弦长公式:设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的两个交点,直线AB的斜率存

在,设为k(k≠0),则|AB|=

|x1-x2|或|AB|=

|y1-y2|.3.设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆

+

=1(a>b>0)上两点,弦AB的中点为