直线与圆锥曲线的位置关系专题总结

2022年高考二轮专题：直线与圆锥曲线的位置关系（第1课时）【高考展望】1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容；2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容；3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法；4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；②若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；③若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点.3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。（1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；②若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；③若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点.知识点二：圆锥曲线的弦长1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。设直线与圆锥曲线相交于，两点，直线的斜率存在且为k，则弦长公式：当k存在且不为零时,弦长公式还可以写成：2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.抛物线的通径【典型例题】类型一：直线与圆锥曲线位置关系的判定与应用例1、直线y=x+3与曲线的公共点个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解分和分别画出曲线，容易看出，答案选D变式训练1：中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆离心率，直线x+y-1=0与椭圆交于M、N两点，以|MN|为直径的圆恰好经过原点，求此椭圆的方程.例2.求以椭圆的焦点为焦点，与直线y=x+8有公共点，且离心率最大的椭圆方程.方法一已知椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4,0)∴所求椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4，0)，c=4设所求椭圆方程为则，若要e最大，必有a最小，即长轴2a最小.设所求椭圆与直线y=x+8有公共点P，则|PF1|+|PF2|＝2a.设F1(-4,0)关于y=x+8对称点为则∴∴为所求所求椭圆方程为方法二已知椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4,0)∴所求椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4，0)，c=4设所求椭圆方程为则，若要e最大，必有a最小将y=x+8代入方程整理得由题意，∴∴所求椭圆方程为变式训练2：已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．例3．已知直线：和椭圆：，以椭圆的焦点为焦点作椭圆，使其与有公共点，求椭圆长轴的最小值及此时的椭圆方程.【思路解析】直线方程与圆锥曲线方程联立是基本的解题思路.方法一∵椭圆+=1的焦点,故设所求椭圆方程为（）.......(1)由，消得由得或舍）∴是椭圆长轴的最小值，此时椭圆方程为.方法二设椭圆和直线有公共点，椭圆长轴的最小值就是到两焦点距离之和的最小值（如图）关于直线的对称点，有∴最小值.∴此时椭圆方程为：.【总结升华】直线与圆锥曲线位置关系的一类常见题型.本题首先根据已知条件设好待定系数，由已知条件及相关公式设法列出相应个数的方程，以得关于待定系数的方程组.变式训练3：一条斜率为1的直线与离心率为交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.类型二：圆锥曲线的弦长问题例4．过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作相互垂直的两条弦OA、OB.证明直角ΔAOB的斜边AB与抛物线的对称轴的交点是一个定点.【思路点拨】结论要证明是一个定点，说明在题目中的变化过程中，不随问题的变化而变化.【解析】不妨设OA所在直线方程为y=kx(k>0),则OB所在直线方程为y=-x.由得或∴A().同理得B(2pk2,-2pk).10当k=1时，AB直线方程x=2p，即直线AB交x轴于M(2p,0).20当k>0且k≠1时，kAB=.直线AB的方程为y-(-2pk)=(x-2pk2).令y=0，解得x=2p.即直线AB交x轴于点M'(2p,0)由10，20可知，斜边AB交抛物线对称轴于定点M(2p,0).【总结升华】设直线方程时时常要分情况进行讨论.举一反三：【变式1】过点的直线与抛物线相交于点、，若且，求直线的斜率.【解析】当直线垂直于轴时，直线与抛物线无交点，不符合题意.当直线不垂直于轴时，设的方程为（），则由消得:∴令、,∴,又∵，，∴又,，∴,∴,解之有或，而时，,时，，∴为所求.【变式2】已知直线过定点A(4,0)且与抛物线交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求的值【解析】可设直线的方程为，代入，得设，则由题意知，OP⊥OQ，则即，∴此时，抛物线的方程为类型三：中点弦问题的处理技巧例5．求椭圆内以点为中点的弦所在直线方程.【思路点拨】已经知道直线过点，只需再求出它的斜率即可.【解析一】当弦垂直于轴时，不符合题意当弦不垂直于轴时，设直线，由消得:∵点在椭圆内，∴.设两交点、则，解之得.∴所求直线方程为：即【解析二】设直线与椭圆两交点、.则，，(2)-(1)得，将上式化简得，即.∴所求直线方程为：即.【解析三】设两交点、中一点为，则另一点为.∵、都在椭圆上，∴两式相减得即为所求.【总结升华】求中点弦所在直线方程的基本思路是求出斜率,如解法1，2均是引入端点坐标为参数，建立关于参数和斜率的关系式，设法求出斜率.应当注意以上解法的前提是在弦存在的情况下求出的.故此法求出的是必要而不充分的条件.举一反三：【变式1】已知经过点的直线与椭圆交于、两点，若为的中点.求直线的方程.【解析一】当直线垂直于轴，即：时不满足题意，故直线的斜率存在，设直线方程：，、则有消取得∵为的中点，∴，解得,∴直线:.【解析二】设、,则，，∵、在椭圆上，∴，∴，即∴，∴,∴直线:.【解析三】设:(为参数）代入曲线方程：,∵为的中点，∴,即∴,∴直线:【变式2】已知双曲线，过点P(1，2)作直线l交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点.(1)求直线AB的方程；(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦.【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得：由于P(1，2)为AB中点，∴x1+x2=