勾股定理的逆定理(基础)知识讲解

初二数学优质时训练专汇（附详解）勾股定理的定理（基础【习标理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；理解勾股数的含义；通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能.【点理【清堂勾定逆理知识点要一勾定的定如果三角形的三条边长

，，c，足a

22

，那么这个三角形是直角三角.要诠1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角.（）股定理的逆定理是把“数”转为“形过计算来判定一个三角形是否为直角三角形要二如判一三形否直三形（）首先确定最大边（如

）（）验证c2与a2是否具有相等关.若c2

，eq\o\ac(△,则)ABC是C＝°直角三角形；若

2

，则△ABC不是直角三角形.要诠：当

22时此三角形为钝角三角形；当a

时，此三角形为锐角三角形，其中要三勾数

为三角形的最大.满足不定方程

x2y22

的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数显然，以

x、y、z

为三边长的三角形一定是直角三角.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、；②、12、13；③81517④7、、25⑤9、、41……如果

a、、是股数当为整数时以

at、、ct

为三角形的三边长此角形必为直角三角形.要诠1）

，n

（

是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）

2,2n2

n

（≥，n是自然数）是直角三角形的三条边长；（）

22,m22,2mn

（

mn,m

是自然数）是直角三角形的三条边长；【型题类一勾定的定1、判断由线段

，，c

组成的三角形是不是直角三角形．22222222222222初二数学优质时训练专汇（附详解）（）＝，＝，c＝25；（）

a

＝

4，b＝，＝；3（）

m

，

，

c

(

m

)；【路拨判断三线段能否组成直角三角形键是运用勾股定理的逆定理看较的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方是，则为直角三角形反之则是直角三角形．【案解】解）∵

22，2

，∴

22

．∴由段

，，

组成的三角形是直角三角形．（）

，

2

2

9，169

，∴

2a2

．∴由段

，，

组成的三角形不是直角三角形．（）∴

m

，mn，m22

．∵

2m222244nm24

，

2

2

2

)

2

4

2

2

4

，∴

22

．∴由段

，，c

组成的三角形是直角三角形．【结华解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大后利用勾股定的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验

与2

是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举反：【变式试题春安市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边1517；（），12，13）12，，）7，24，．其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组组C.3组【案C.解：①∵+15=17，∴组成直角三角形；∵+12=13，∴组成直角三形；12+15≠20，不能组成直三角形；222222初二数学优质时训练专汇（附详解）④7+24，能组成直角三角形．故选C．2质试题春•丰城市期末）图，已知四边形ABCD中，B＝∠90°，AB＝3，＝，＝12，＝，四边形ABCD面积．【路拨由AB3BC4B＝90想到连接AC则在eq\o\ac(△,Rt)ABC中可出ABC的面积，也可求出线段AC的．所以在ACD中，已知ACADCD三长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．【案解】解：连接AC，△中因为∠＝°，＝，BC＝，所以

222

25

，所以AC＝，在△中，AD＝，＝，＝5，所以

DC2251441692

，即

AC2

．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90．所以

S四边形

△ACD

1AC2

11303622

．【结华有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解题是勾股定及逆定理的综合考察．类二勾定逆理应3、知：

,b为的三边且满足

a

338a24b26

，试判断的状【答案与解析】解：∵

a1026c222422222422224422222222222222222222初二数学优质时训练专汇（附详解）∴

2a22

260(∴

ab12,，

22∴△ABC是角三角形.【结华此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形定要善于把目中已知的条件等式进行变形得到三形的三边关.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法.举反：【变式】请阅读下列解题过程：已知、b、cABC的边，且满足ac﹣=﹣，试判ABC的状．解：∵ac﹣=﹣，

第一步∴c（﹣）（+﹣b第步∴c=a，∴△ABC为角三角形．

第三步第四步问）在上述解题过程中，从一步开始出现错误：_________；错误的原因是：_________；本题正确的结论是：_________．【答案】解）第三步；方程两边同时除以（﹣），没有考虑﹣）值有可能是；∵c（﹣b）=a﹣）∴c=a或a﹣b∵a﹣b∴a+b=0a∵a+b∴c=a或ab=0∴c=a或a∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．质试题秦岛校级模拟）如图，铁路和路Q在P点交汇，点A是第九十四中学，AP=160米点A到路MN的距为80米假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．火车在铁路MN上方行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．如果受到影响，已知火车的速度是180千米时那么学校受到影响的时间是多久？初二数学优质时训练专汇（附详解）【路拨1过点A作AEMN于点，由点A到铁MN的距离为80米可AE=80m再由火车行驶时，周围100米内会受到噪音影响即可直接得出结论；（以点A为心米半画圆直线MNBC两点接ABAB=AC=100m，在eq\o\ac(△,Rt)ABE中利用勾股定理求出BE的长而可得出BC长根据火车的速度是千米/时求出火车经过BC是用的时即可．【案解】解）会受到影响．过点A作AE⊥MN于E，∵点A到路MN的离为80米，∴AE=80m，∵周围100米以内会受到噪音影80＜100∴学校会受到影响；（A为心米半画圆线MNBC两点ABAB=AC=100m，