28.2《应用举例（2）》名师教案（人教版九年级下册数学）

第页28.2.2应用举例第二课时〔刘佳〕一、教学目标1．核心素养通过解直角三角形应用举例的学习，初步形成根本的运算能力、推理能力、应用意识.2．学习目标〔1〕1.1.1理解方位角、坡角等概念．〔2〕1.1.2能将实际问题抽象成数学问题，并用解直角三角形的方法来解决.〔3〕1.1.3能利用解直角三角形来灵活求解其他非直角三角形的问题．3．学习重点 熟练运用解直角三角形的方法来解决方位角、坡角相关的实际问题.4．学习难点将实际问题抽象为数学模型．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务 任务1阅读教材P76-P79，思考：什么是方位角、坡角？ 任务2阅读教材P76-P79，思考：怎么利用方位角、坡角和解直角三角形的知识解决实际应用问题？2．预习自测一、填空题1．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为______m.答案：25解析：过点B作BC⊥AC，如以下图所示.∵AB=10米，tanA=BC/AC=1/2，∴设BC=x，那么AC=2x，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=25，∴BC=25米.2．从A看B是北偏东25度，那么从B看A是______方向.答案：南偏西解析：略二、解答题3．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛150海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)假设渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)答案：见解析解析：(1)过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°.∵AM＝150海里，∴MD＝AMcos45°＝75eq\r(2)(海里)．答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是75eq\r(2)海里．(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°.∵MD＝75eq\r(2)海里，∴MB＝eq\f(MD,cos30°)＝50eq\r(6)(海里)．∴50eq\r(6)÷20＝≈×2.45＝6.125≈6.1(小时)．答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为6.1小时．〔二〕课堂设计1．知识回忆〔1〕锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，假设∠C=90°，那么，cosA＝＝，tanA＝＝.〔2〕勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．〔3〕含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为.〔4〕30°、45°、60°角的三角函数值：，，，，，，，，.2．问题探究问题探究一什么是方位角、坡角？重点知识★ ●活动一方位角的定义1．方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如下图，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．2．说出以下射线的方向．射线OA是北偏东55°，射线OB是南偏东30°，射线OC是南偏西35°，射线OD是北偏西45°或西北方向． ●活动二坡角的定义坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i＝eq\f(h,l)＝tanα.问题探究二方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★ ●活动一应用知识，解决问题例1.如下图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：如下图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．点拨：触礁问题的本质是求点到直线的距离，一般作垂线，通过解两次直角三角形来求公共边长度〔即距离〕.例2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝eq\f(1,3)≈0.33，∴α≈18.43°，∵eq\f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq\f(BE,sinα)＝eq\f(23,0.3162)≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形中来求解. ●活动二方法总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题〔画出平面图形，转化为解直角三角形的问题〕．2．根据条件的特点，适中选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．问题探究三怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★▲构造根本图形角直角三角形的实际问题：●活动一构造单一直角三角形例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一局部被沙堆掩埋，其示意图如下图．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出局部的长为0.9m．求铁板BC边被掩埋局部CD的长．(结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AB)，那么BC＝AB·sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，那么CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．●活动二构造母子三角形例2：如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：eq\r(3)≈1.73)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：没有触礁的危险．理由如下：作PC⊥AB于C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形．∴BC＝PC＝x.在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝eq\f(PC,AC)，∴AC＝eq\f(PC,tan30°)，即8＋x＝eq\f(x,\f(\r(3),3))，解得x≈10.92，即PC≈10.92.∵10.92>10，∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．●活动三构造背靠背三角形例3：如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1)；(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保存整数)．(参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：(1)过C作CD⊥AB于点D.根据题意得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，那么AD＝x·tan42°.在Rt△BCD中，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)，那么BD＝x·tan55°.∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，∴x·tan42°＋x·tan55°＝80.解得x≈34.4.答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．(2)在Rt△BCD中，cos55°＝eq\f(CD,BC)，∴BC＝eq\f(CD,cos55°)≈60(海里)．答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．●活动四与梯形有关的角直角三角形例4：如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，斜面坡度i＝1∶eq\r(3)是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保存小数点后一位．参考数据：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝ABsinB＝6sin60°＝3eq\r(3)，BF＝ABcosB＝6cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四边形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3eq\r(3)，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(1,\r(3))，∴EC＝eq\r(3)ED＝eq\r(3)×3eq\r(3)＝9.∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·DE＝eq\f(1,2)(4＋16)×3eq\r(3)≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.3．课堂总结【知识梳理】〔1〕方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。〔2〕坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i＝eq\f(h,l)＝tanα.【重难点突破】〔1〕题中没有直角三角形，或直角三角形不可用时，常常作辅助线构造直角三角形.〔2〕构造直角三角形，常用辅助线为延长或作高，但一般不破坏特殊角或角.4．随堂检测一、选择题1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置〔〕A．50海里B．50eq\r(3)海里C．100海里D．海里答案：B解析：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．易知：∠MAN=90°-60°=30°．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，

∴AN=AM•cos∠MAN=100×32=503故该船继续航行503海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置,应选B.【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】2．四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(滑板是平直的)分别为300m，250m，200m，200m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，那么关于四个滑梯的高度正确说法〔〕A．A的最低B．B的最低C．C的最低D．D的最低答案：C解析：A的高度为：300×sin30°=150〔米〕．B的高度为：250×sin45°=1252≈176.75〔米〕．C的高度为：200×sin45°=1002≈141.4〔米〕．D的高度为：200×sin60°=1003≈173.2〔米〕．所以C的最低．【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】二、填空题3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为14m，斜面坡度为1∶2，那么斜坡AB的长为______m.答案：6解析：在Rt△ABC中，∵i=BCAC=1根据勾股定理得：AB=AC2+BC【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】4.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进36海里到达B点，此时，测得海岛C