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文档简介

关于柯西积分公式第1页，共13页，2023年，2月20日，星期四一、柯西积分公式定理

.(柯西积分公式)

如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则第2页，共13页，2023年，2月20日，星期四[证]DCKzz0R

由于f(z)在z0连续,任给,存在,当|z-z0|<时,|f(z)-f(z0)|<.设以z0为中心,R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R<.第3页，共13页，2023年，2月20日，星期四例1解第4页，共13页，2023年，2月20日，星期四例题2

解：

第5页，共13页，2023年，2月20日，星期四二、解析函数的高阶导数

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.第6页，共13页，2023年，2月20日，星期四定理

解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:

其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即

因此就是要证第7页，共13页，2023年，2月20日，星期四按柯西积分公式有因此第8页，共13页，2023年，2月20日，星期四现要证当Dz0时I0,而f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为z0到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|<d/2,因此L是C的长度这就证得了当Dz0时,I0.Dz0dC第9页，共13页，2023年，2月20日，星期四这就证得了再利用同样的方法去求极限:依此类推,用数学归纳法可以证明:

高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.第10页，共13页，2023年，2月20日，星期四例4

求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r>1.[解]1)函数在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.第11页，共13页，2023年，2月20日，星期四例2

若n为自然数，试证明：证：比

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