第五章-大数定律和中心极限定理-例题与解析

第五章大数定律和中心极限定理(简介)第一节大数定律定义5.1(依概率收敛)（教材p145）设是一个随机变量序列，是随机变量或常数。若对任何>0，都有就称依概率收敛于，记为。P定义5.2(以概率1收敛、几乎处处收敛)

若P()=1，则称以概率1收敛于，或称几乎处处收敛于，记为。a.s.PP定理5.1

设g(x，y)在(a，b)处连续，则P定义5.3(依分布收敛)

设和的分布函数分别为和F(x)，若则称弱收敛于F(x)，记为。称依分布收敛于，记为。WL定理5.2(几种收敛之间的关系)若，则。设为常数，则当且仅当。3.若，则。PLa.s.PPL定义5.4(独立随机变量序列)

设是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随机变量都相互独立，则称为独立随机变量序列(简称相互独立)。定理5.3(切比雪夫大数定律)（教材p144）设相互独立，且令P定理5.4(辛钦大数定律)（教材p147）设相互独立，且服从相同分布，令P说明：1.辛钦大数定律中“听从相同分布”仅是指分布类型相同。2.这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独立随机变量的算术平均近似于一个常数。定理5.5(贝努利大数定律)（教材p146）设A在n重贝努利试验中发生次，p=P(A)，则对任何>0，有说明：贝努利大数定律是说，当n很大时，故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。例1(2003年数学三考研试题填空题)

设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当n时，依概率收敛于。其次节中心极限定理定理5.6(列维-林德贝格中心极限定理Levy-Lindeberg)(独立同分布中心极限定理)（教材p147）设随机变量相互独立且服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：

则随机变量即的分布函数对任何x满足L推论(德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)（教材p150）设～B(n，p)(0<p<1)，则对任何x，有说明：当n很大时，.例3(2001年数学四考研试题十一题)

一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.((2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数)例2(2002年数学四考研试题)

设随机变量相互独立，则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，近似服从正态分布，只要().有相同的数学期望(B)有相同的方差(C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布例1已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解设每毫升白细胞数为依题意,所求概率为由切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在5200~9400

之间的概率不小于8/9.例2在每次试验中,事件发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求:独立试验次数最小取何值时,事件出现的频率在0.74~0.76

之间的概率至少为0.90?解设为次试验中,事件出现的次数,则在切比雪夫不等式中取则依题意,取使解得即取18750时,可以使得在次独立重复试验中,事件出现的频率在之间的概率至少为0.90.例1设有30个电子元件,它们的寿命均听从参数为0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率.解由莱维中心极限定理即他们的寿命之和超过350小时的概率为0.1814标准正态分布表他们的寿命之和超过350小时例2一加法器同时收到20个噪声电器Vk(k=1,2,…,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上听从匀整分布。记求P{V>105}的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,…,20).近似听从正态分布N(0,1),由莱维中心极限定理例3对敌人的防卫地段进行100次炮击,在每次炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.解设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),在100次炮击中炮弹命中的总颗数Xk相互独立，且E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,…,100)由莱维中心极限定理有180颗到220颗炮弹命中目标的概率例4某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦,由于工艺等缘由,每台机器的实际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互独立的,求:(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.(2)须要供应多少电功率可以保证全部机器正常工作的概率不少于0.