例析导数在实际生活中的应用导数的实际意义

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在实际生活中,经常遇到这样一类问题：在确定条件下,“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”、“面积最大”、“容积最大”、“强度最大”、“本金最低”等问题,往往归结为求函数的最值问题,从而可利用导数来解决。

某企业拟建立如下图的容器(不计厚度,长度单位：米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80�π�3立方米,且l≥2r.假设该容器的建立费用仅与其外观积有关.已知圆柱形片面每平方米建立费用为3千元,半球形片面每平方米建立费用为c(c>3)千元．

设该容器的建立费用为�y千�元．

(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建立费用最小时的r．

分析此题以生活中常见的圆柱、球为背景,同学们并不目生。利用体积相等建立方程,得到l与r之间的关系,根据已知l≥2r,求出函数定义域。难点在于用导数求函数最值时需要分类议论。

解(1)由题意可知�π�r�2l+43�π�r�3=803�π�(�l≥2r�),所以l=803r�2-43r≥2r,得03,所以c-2>0.令y′=0,得�r=�320c-2．

令r=320c-2=2,即c=4.5,

①当34.5时,320c-2320c-2时,�y′>�0,y为增函数,所以当r=320c-2时,y有最小值．

综上所述,当34.5时,建立费用最少时r=320c-2．

某商场销售某种商品的阅历说明,该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)得志关系式y=ax-3+10(x-6)�2,其中30),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是全体灯“心悦效果”的和．

(1)试将y表示为x的函数；

(2)试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最正确？

分析此题具有鲜明的时代背景,特别别致。难点在于用x表示DE、DF的长,突破难点的关键看能否想到：把DE、DF转化到三角形中。

解(1)由于∠EOA=∠FOB=2x,所以弧EF、AE、BF的长分别为�π�-4x,2x,2x．

连接OD,那么OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+�π�2．

在△DOE中,由余弦定理得

DE�2=OE�2+OD�2-2OEOD�cos�∠DOE

=1+1-2�cos�2x+�π�2=2+2�sin�2x，

所以DE=2+2�sin�2x=2(�sin�x+�cos�x)�2=2(�sin�x+�cos�x)．

同理,DF=2(�sin�x+�cos�x)．

所以该霓虹灯整体的“心悦效果”

y=2k［22(�sin�x+�cos�x)+�π�-4x］+k(22+4x)

=2k［22(�sin�x+�cos�x)-2x+2+�π�］

00,函数y在0,�π�12上单调递增；

当x∈�π�12,�π�4时,y′(2)由(1)知,f′(x)=-24x�2+16ax,

令f′(x)=0,那么x=0(舍)或x=2a3．

当00,f(x)为增函数；

当x>2a3时,f(x)′0,T(x)单调递增．

所以当x=12时,T���min��=154+35=8720,此时CD=3．

即在距渔站3�km�处登岸可使抵达渔站的时间最省．

解法二：在�Rt�△ABD中,令∠DAB=θ045时,T′(θ)>0,T(θ)单调递增．

所以当�sin�θ=45时,T���min��=8720,此时�co