导数交点问题(函数图像)

2例1（福建理科第21题已知函数－x+8x,g(x)=6lnx+m2（Ⅰ）求f(x)在间t,t+1]上最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的值范围不存在，说明理由。解）略（II）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∴令f(x)=g(x)∴g(x)－∵x>0∴数(x)=g(x)－=

x+m的象与x轴正半轴有且只有三个不同的交点。∵

xxx'()xx

(当x∈(0,1)时，

1

(

〉，

)

是增函数；当x∈(1,3)时，

(

〈，

)

是减函数；当x∈(3,+∞时，

()

〉，

)

是增函数；当x=1或时

(

=0。∴极大值

极小值

15.∵当x→0时

(x)→

，当

时，

(x)

∴要使

(x)=0有个不同的正实数根，须且只须极大值)m＋6ln0,极小值∴7<m<15－6ln3.所以存在实数m，使得函数y=f(x)y=g(x)图象有且只有三个不同的交点m的取值范围为（，15—6ln3）（分草图见下图1图1

图2

图3引申1：如果（Ⅱ）中“有且只三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为

x)

或

x)

m-7<0，即m>15-6In3或m<7时数y=f(x)与y=g(x)的象有且只有一个不同的交分草图见图和3引申2：如果（Ⅱ）中“有且只三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为

x)

或

x)

m-7=0，1

即m=15-6In3或m=7时数y=f(x)与y=g(x)的象有且只有两个不同的交分草图见图和5图4

图5从上题的解答我们可以看出用数来探讨函数y=f(x)图象与函数y=g(x)的象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数

(x)=f(x)g(x)②导

(

③研究函数

(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函(x)的图，观察与x轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。下面用这几个步骤来完成年四川卷第21题例2（四川卷第21题已知函f()是的f(x)的导函数。

3+3ax

f

其中（Ⅰ）对满足

a的切a的，都有

求实数ｘ的取值范围；（Ⅱ设

当实数ｍ在什么范围内变化时数ｙ＝f(x)图像与直线ｙ＝只一个公共点。解）略（Ⅱ）

f(x)3axf'

2

2①当

m

时，

f

的图象与直线

只有一个公共点②当

m

时，令

(x)=f(x)-3=

x，1=3x=3x2m2列表：

((x)

（单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增x

小值

〈又∵

(x)的值域是

R

，且在

上单调递增∴当

xm时数)

的图象与x轴有一个公共点。当xm时恒有))2

由题意得

()即

2m解得

综上，的值范围是32（析草图见图6）图当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。如2006年建文科卷21题。f(x)例3（福建文科卷第21题）知。在区间f(x)（）的解析式；

f(x)

是二次函数，不等式

f(x的集是(0,5),且（II是否存在实数

m,使方程f()

37x

在间(m

内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出取值范围；若不存在，说明理由。解）

x

(过程略（）程

f(x)

37x

等价于方程

2x3x237设

(x)x则

'(x)x

2

x当

x(时'(x0,h(x)

是减函数；当

x

103

)

时，

x)0,h)

是减函数；当

10x(,，x)0,h)3

是增函数图7）图101hh()327

0,

方程

()

在区间

10),(4)33

内分别有惟一实数根，而在区间

(0,3),(4,

内没有3

222实数根，222所以存在惟一的自然数3,使方程

f(x)

37x

在间(m

内有且只有两个不同的实数根。从上面的探讨，我们可以看出，在今后的数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践能力。练对于公比为2，首项为1的比列是存在一个等差数列其存在三项，使得这三项也是此等比数列中的项，并且项数也相同？证明你的结论。解：设等比数列

n

，则

bn

n

，设等差数列通项对应的函数为

y

，等比数列通项对应的函数

y

x

，x由，yax

，设

fx)2

x

ax

，则

f'()

x

当

a0

时，显然

f'()

，即

f(x)0

为单调递增函数，故

yf()

至多与

轴有一个交点，即方程

至多有一个根；当a时若log

2

a，则f'(x)；loglnln

，则

f'()

；故

yf()

在

(log

2

a)为函；在(1ln2ln2

为增函数；因此

yf()

的图象在

(

2

aa)上x轴多一个交点在(1,ln2ln2

上亦至多一个交点，从而

yf()

在

R上x轴多有两个交点，即方程

至多有两个根；x