数学建模知识课件1p sxjmo

6.6模型误差分析

一．模型误差的客观存在性希望建立的模型尽善尽美：

能“逼真”地模拟现实系统；

能“精确”地预测系统的未来情况；

能“准确”地控制系统；

得到问题的“最优”解；…逼真、精确、准确、最优、…良好愿望

数学模型是对现实世界的理想化，不可能是真实世界的再现

任何数学模型在建立和使用的过程中，不可避免的产生模型误差.

如：附加进数据测量误差,舍入误差和截断误差等.有必要对模型误差进行分析，并给出估计.

常用“绝对误差”和“相对误差”来衡量误差的大小程度：

绝对误差=测量值－近似值相对误差=绝对误差/测量值与数量级有关

例6.6.1

用经验公式

作为土豆产量的近似估计公式,其误差数值列表如下（参见p168表7.6）0.0010.0641.201960.0622.5638.4898－0.06－2.0334.50240.06相对误差1.96绝对误差

31.50施肥量问题

如何评价误差数据？二．误差分析各类误差

数据测量误差

截断误差

模型假设误差

1．数据测量误差*在建立模型之前应该尽量控制实验数据的质量,使之测量准确可靠.

*数据带有无法消除的测量误差时,应分析它对模型造成的影响,并对模型误差进行估计.

例6.6.2

有高为100厘米的半球形容器中装满了水。从某一时刻开始，水从底部一个横截面积为1平方厘米的小孔流出，可以随时测出水面高度h。由水力学知，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率)Q，有关系式

其中0.62为流量系数,S是小孔口横截面积，g为重力加速度.

由测出的水面高度h,可算得水流量,由于仪器所限，测出的高度值有±

0.1厘米的误差,这会引起水流量Q的多大误差？

100h水面高度h有误差Δh

分析

水面高度误差为Δh

，水流量误差则为

在

h=50厘米处,代入Δh=0.1厘米,可算得绝对误差为

相对误差为在h=50厘米处的相对误差为约为1‰.2.截断误差截断误差的来源：

1.用数值方法近似求解会产生截断误差；

2.函数近似产生截断误差；3.计算机运算的精度误差；

应分析截断误差对模型的影响

例6.6.3广义生日问题

一个班有30名学生,他们中至少有两名同一天生日的概率p=?他们生日均不同日的概率为则p=1－q.一般化后,考虑下问题：求最小的整数n，使

f(n)≤q(给定)

对于给定的

x,f(n)是单调下降函数(序列),解：可采用求根方法—对分法q

当q=0.5时,对不同的x,可以算出n

的最小值n*，见表(P170表7.7)的前两列.建立满足f(n)≤q的最小值n*与x

之间的关系式.

方法一（最小二乘法）建立经验公式为方法二泰勒近似建立泰勒近似公式为方程的正根为当

q=0.5，建立泰勒近似公式为n=0.5+练习

对两种近似求解方法,计算各个近似值的绝对误差和相对误差.泰勒近似式的误差控制函数因其中注意到f(n)和g(n)都是单调下降函数,选择n*使g(n*)≥q≥g(n*+1)≥f(n*+1)，又若f(n*)≥q，则n*或n*＋1就是整数n满足f(n)＜q的最小值.g(n)f(n)qn*n*+1若f(n*)=qf(n)≤q

，当n≥n*；若

f(n*)＞q对最小值n*点有即当n≥n*+1.

f(n*)＞q≥g(n*+1)≥f(n*+1)≥f(n)，3.模型假设误差通过对数据进行分析可以判断假设是否合理.

是用g(n)代换f(n)的误差控制函数,比值越接近于零，误差越小.续例6.1.3施肥效果分析有人做了如下两条假设：

*1在实验中除施肥量,其他影响因子:如环境条件,种植密度,土壤肥力等,均处于同等水平；*2各次实验独立,误差项ε均服从N(0,σ2).分析：从数据可见在实验点实际重复了三次试验.第七试验水平问题：三次试验的土豆产量分别为43.15，41.26，38.43（单位：t/ha）

按照假设这3次重复试验产生的产量波动完全因随机误差所致.如何解释这3个数据的波动？并且土豆产量满足回归方程合理吗？分析：由3个数据计算得

30个试验数据绝大多数落在区间(33.82,48.07)之内

由施肥水平变化所引起的土豆产量的变动幅度不及随机误差产生的波动幅度大

.不合理不合理的原因：实际上三次重复试验带有系统误差主要来源于土壤肥力,生长期的管理措施等多种试验时的外界条件变化.

试验设计中，把在试验实施过程中外界环境条件的差异所造的系统偏差称为区组效应.

施肥问题中,对应于每种营养素的10个施肥试验点