2023高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE1课时分层训练(二十七)数列的概念与简单表示法A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(－1n,an－1)(n≥2)，那么a5＝()A.eq\f(3,2) B．eq\f(5,3)C．eq\f(8,5) D．eq\f(2,3)D[a2＝1＋eq\f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(－13,a2)＝1＋eq\f(－1,2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(－1,a4)＝eq\f(2,3).]2．以下数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)C[根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C.]3．(2022·海淀期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，那么a3的值为()【导学号：66482234】A．5 B．6C．7 D．8B[由(n＋1)an＝nan＋1得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))为常数列，那么eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1)＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6.]4．(2022·广东3月测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝eq\f(3,2)(an－1)(n∈N*)，那么an＝()【导学号：66482235】A．3(3n－2n) B．3n＋2C．3n D．3·2n－1C[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(3,2)(an－1)－eq\f(3,2)(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝eq\f(3,2)(a1－1)，得a1＝3，∴eq\f(an,an－1)＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n，应选C.]5．数列{an}满足a1＝2，an＝eq\f(an＋1－1,an＋1＋1)，其前n项积为Tn，那么T2017＝()【导学号：66482236】A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2C[由an＝eq\f(an＋1－1,an＋1＋1)，得an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，而a1＝2，那么有a2＝－3，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2所以T2017＝(a1a2a3a4)二、填空题6．(2022·辽宁大连双基检测)数列{an}的前n项和Sn＝2n，那么a3＋a4＝__________.12[当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]7．在数列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中，0.08是它的第______项．10[令eq\f(n－2,n2)＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，那么(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍去)．∴a10＝0.08.]8．数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，那么an＝__________.【导学号：66482237】eq\f(2,n2－n＋2)[由得，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝n，所以eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝n－1，eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－2)＝n－2，…，eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝1，所以eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝eq\f(nn－1,2)，a1＝1，所以eq\f(1,an)＝eq\f(n2－n＋2,2)，所以an＝eq\f(2,n2－n＋2).]三、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？假设是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？[解](1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.3分(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.8分(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数.12分10．Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；3分S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.5分(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an，①当n≥2时，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.8分由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2022·郑州二次质量预测)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，那么a20的值是()【导学号：66482238】A.eq\f(21,5) B．eq\f(22,5)C.eq\f(23,5) D．eq\f(24,5)D[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，那么20a20＝1＋19×5，解得a20＝eq\f(24,5)，应选D.]2．(2022·甘肃白银会宁一中月考)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，那么an＝__________.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2))[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，∴an＋1＝4an(n≥2)．∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2.))]3．数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1)假设k＝－5，那么数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．[解](1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因为n∈N*，所以n＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.2分因为an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f