2023高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE1课时分层训练(二十三)平面向量的概念及线性运算A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC中，M是BC中点，设eq\o(CB,\s\up12(→))＝a，eq\o(CA,\s\up12(→))＝b，那么eq\o(AM,\s\up12(→))＝()【导学号：66482195】A.eq\f(1,2)a－b B．eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)bA[eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CM,\s\up12(→))＝－eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up12(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，应选A.]2．eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝7a－2b，那么以下一定共线的三点是()【导学号：66482196】A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因为eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up12(→))，又eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．]3．在△ABC中，D是AB边上的一点，假设eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋λeq\o(CB,\s\up12(→))，那么λ等于()【导学号：66482197】A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，即eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CA,\s\up12(→))＝2(eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))，∴eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]4．设a，b都是非零向量，以下四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|C[eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)⇔a＝eq\f(|a|b,|b|)⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且eq\o(DC,\s\up12(→))＝2eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(CE,\s\up12(→))＝2eq\o(EA,\s\up12(→))，eq\o(AF,\s\up12(→))＝2eq\o(FB,\s\up12(→))，那么eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))与eq\o(BC,\s\up12(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直A[由题意得eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up12(→))，因此eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up12(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up12(→))，故eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))与eq\o(BC,\s\up12(→))反向平行．]二、填空题6．O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(OD,\s\up12(→))满足等式eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))，那么四边形ABCD的形状为________．平行四边形[由eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))得eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))，所以eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．]7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，假设eq\o(BC,\s\up12(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up12(→))＝3e2，那么eq\o(OC,\s\up12(→))＝________.(用e1，e2表示)eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．]8．(2022·北京高考)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up12(→))＝2eq\o(MC,\s\up12(→))，eq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→)).假设eq\o(MN,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))，那么x＝________；y＝________.eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[∵eq\o(AM,\s\up12(→))＝2eq\o(MC,\s\up12(→))，∴eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→)).∵eq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→))，∴eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))，∴MN＝eq\o(AN,\s\up12(→))－eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up12(→)).又eq\o(MN,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).]三、解答题图4­1­19．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AG,\s\up12(→)).[解]eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.2分eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12分10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up12(→))，∴eq\o(AC,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))共线.3分又∵eq\o(AC,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))有公共点C，∴A，C，D三点共线.5分(2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分∵A，C，D三点共线，∴eq\o(AC,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))共线，从而存在实数λ使得eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(CD,\s\up12(→))，9分即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,k＝\f(4,3).))12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设M是△ABC所在平面上的一点，且eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up12(→))＝0，D是AC的中点，那么eq\f(|\o(MD,\s\up12(→))|,|\o(BM,\s\up12(→))|)的值为()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．2A[∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD(图略)，∴四边形MAEC为平行四边形，∴eq\o(MD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ME,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→)))．∵eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up12(→))＝0，∴eq\o(MB,\s\up12(→))＝－eq\f(3,2)(eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→)))＝－3eq\o(MD,\s\up12(→))，∴eq\f(|\o(MD,\s\up12(→))|,|\o(BM,\s\up12(→))|)＝eq\f(|\o(MD,\s\up12(→))|,|－3\o(MD,\s\up12(→))|)＝eq\f(1,3)，应选A.]图4­1­22．(2022·辽宁大连高三双基测试)如图4­1­2，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．假设eq\o(AM,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(BC,\s\up12(→))，那么λ＋μ＝________.eq\f(2,3)[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为点M为AH的中点，所以eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BH,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))＋\f(1,3)\o(BC,