数列求和及数列综合应用

数列乞降及数列的综合应用数列乞降及数列的综合应用/16112345f(x)54312A.2B.3C.4D.5答案C分析 由表格可得 a1 =4 ,a2=_f(a1)”4)=1, a3 ”。2)二式1)=5, a4"为=2,a5 =f(2)=4,可知其周期为4,."。疽气二4.在等差数列｛a〃｝中，其前〃项和是Sn，若S15>0,S16<0,贝恠，，…，中最大的是()A.B.C.D.答案B分析因为S15==15a8>0,S16==8(a8+a9)<0/可得a8>0,a9<0.这样>0,>0,…，>0,<0,<0,…，<0,而S]<S2<…<S8,a]>a2>…>a8,所以在，，…，中最大的是.应选B.数列｛an｝满足。]=1,且对任意的m，〃EN*都有am+n=am+an+mn，则++ 等于()A.B.C.D.答案A分析令m=1得an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,于是a2-a1=2,a3-a2=3,…，an-an-i=n，上述n-1个式子相加得a-a=2+3+…+n，n1所以a=1+2+3+…+n=，n所以==2,所以+++•••+=2已知函数f(n)=且。〃=/(〃)+/(〃+1),则。］+。2+。3 ”，2012等于()A.-2012B.-2011C.2012D.2011答案C分析当n为奇数时,an=f(n)+f(.n+1)二〃2-(〃+1)2=-(2〃+1)；当n为偶数时，an=f(n)+f(n+1)=_〃2+(〃+1)2=2〃+1.所以。］+灼+。3+…+%12=2(-1+2-3+4+…-2011+2012)=2012.二、填空题TOC\o"1-5"\h\z数列｛an｝中，已知对任意nEN*,a1+a2+a3H an=3n—1,贝a+a+a a=答案(9〃一1)分析+a,+a々+…+a=3nT，12 3 n.*.a,+a2+a3+^+a〔=3n-1T(nN2).12 3 n-1则nN2时，两式相减得/a=2-3n-1.n当n=1时，。1二3-1二2,适合上式，an-2-3n-1(nEN*)..a=4-9n-1,则数列｛a｝是首项为4,公比为9的等比数列..•.a+a+a+・"+a=二(9n-1).设数列｛an｝的前n项和为Sn，且an为复数isin+cos(nEN*)的虚部，则S2013= .答案1分析由已知得：an二sin(nEN*),••a】=1,a?=0,。3=-1,。耳=0,故｛an｝是以4为周期的周期数列，•S2013=S503x4+1=S1=a1=1. 已知数列｛勾｝满足3勾+]+。"=4(〃巳1)且。]=9,其前〃项之和为S”，则满足不等式IS”一n一61v的最小整数n是 .答案7 分析由递推式变形得3(%]-1)=-(%-1),..・｛。广1｝是公比为-的等比数列.则a=n ' /即。=8・(-)〃-1+Lnv7于是s=+nn—6[1-(-),?]+n=6-6-(-)n+n所以IS_61=16X(-)n\=6X()„<,3„-1>250,二满足条件的最小〃=7. 气象学院用3.2万元买了一台天文察看仪，已知这台察看仪从启用的第一天起连续使用, 第n天的维修养护费为(〃EN*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指派用这台仪器的均匀耗资最口少)，一共使用了 天.答案800 分析由题意得，每天的维修养护费是以5为首项，为公差的等差数列.设一共使用了n天，则使用n天的均匀耗资为—++N2+,当且仅当二时获得最小值，此时〃二800.三、解答题 已知等差数列｛。〃｝洒足■■:。5=9,。2+。6=14. 求数列｛%｝的通项公式； 若bn=an+qa和>0),求数列｛妇的前n项和S, 解⑴设数列｛an｝的公差为』，则由a5=9,a2+a6=14,得，解得.所以数列｛。〃｝的通项公式为an=2n-1.(2)由an=2n-1得bn=2n-1+q2n-1.当0>0且0力1日寸，S〃=[1+3+5+...+疗-1+(01+03+05+…+02"盘1)二〃2+；当q=l时，b=2n,贝US二n(n+1).n n所以数列｛妇的前n项和S广.将函数fx)=sinx・sin(x+2n)・sin(x+3n)在区间(0,+")内的所有极值点按从小到大的序次排成数列｛Qn｝(nEN*).求数列的通项公式；设b=2na，数列｛b｝的前n项和为T,求T的表达式.zn n LnJ n n解(1)化简f(x)=sinx-sin(x+2n)-sin(x+3n)二-sinx,其极值点为x=kn+(kEZ),它在(0,+8)内的所有极值点构成以为首项，n为公差的等差数列，故a广+(〃-1)兀=nn-.(2)b=2na=(2n-1)-2n,n n:,T=[1-2+3-22+-+2-32n-1+2-12n],n则2T=[L22+3・23+...+2-32n+2-12n+i]两式相减，得n:,-t=[1-2+22+2-23+...+22-/2-12n+1],n:.T项/2-32n+3].n在等比数列｛an｝中，a2=,a3a=.设bn=log2a2-log2a2,Tn为数列｛bn｝的前n项和.求a和T；nn若对任意的nEN*,不等式A7n<n-2(-1)n恒建立，务实数A的取值范围.解(1)设｛an｝的公比为q,由a3a6=a-q5-q5-得q-/•.・an=%•qn-2-()n.bn-Iog2a2・log2a2-log()2n-12・log()2n+】2=(-),T-(1-+-+…+-)nv /-(1-)-.(2)①当n为偶数时，由XT<n-2恒建立得，X<=2n--3恒建立，即A<(2n■■3)min/而2n--3随n的