2023高考总复习单元检测：第5章平面向量

第页第五章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．每题中只有一项符合题目要求)1．与向量a＝(－5,12)方向相反的单位向量是 ()A．(5，－12) B．(－eq\f(5,13)，eq\f(12,13))C．(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)) D．(eq\f(5,13)，－eq\f(12,13))答案D解析与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D.也可用公式n＝－eq\f(a,|a|)＝－eq\f(－5，12,\r(－52＋122))＝(eq\f(5,13)，－eq\f(12,13))求得．2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，那么a与b夹角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(3π,4)答案C解析如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABC为边长为1的等边三角形，记eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，那么a与b的夹角为eq\f(2π,3)，应选C.3．O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，那么eq\o(OC,\s\up10(→))等于 ()A．2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)) B．－eq\o(OA,\s\up10(→))＋2eq\o(OB,\s\up10(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up10(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up10(→))答案A解析eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋2eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋2(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))，∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)).应选A.4．复数z＝eq\f(1＋2i2,3－4i)，那么eq\f(1,|z|)＋eq\x\to(z)等于 ()A．0 B．1C．－1 D．2答案A解析z＝eq\f(1＋2i2,3－4i)＝eq\f(4i－33＋4i,25)＝eq\f(－16－9,25)＝－1，所以eq\f(1,|z|)＋eq\x\to(z)＝1－1＝0.应选A.5．对于复数z1，z2，假设(z1－i)z2＝1，那么称z1是z2的“错位共轭〞复数，那么复数eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i的“错位共轭〞复数为 ()A．－eq\f(\r(3),6)－eq\f(1,2)i B．－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)iC.eq\f(\r(3),6)＋eq\f(1,2)i D.eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i答案D解析方法一由(z－i)(eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i)＝1可得z－i＝eq\f(1,\f(\r(3),2)－\f(1,2)i)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以z＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.方法二(z－i)(eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i)＝1且|eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i|＝1，所以z－i和eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i是共轭复数，即z－i＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，故z＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.6．向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，那么c等于 ()A．(2,1) B．(1,0)C．(eq\f(3,2)，eq\f(1,2)) D．(0，－1)答案A解析设c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－y－2＝0，,y＋1＝2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))因此c＝(2,1)．7．向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝eq\r(7)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，那么|b|＝ ()A．2 B．3C.eq\r(3) D．4答案A解析由|a＋b|＝eq\r(7)，可得|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×|b|coseq\f(π,3)＋|b|2＝7，所以|b|2＋|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－3(舍去)．应选A.8．假设O为平面内任一点且(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)))·(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＝0，那么△ABC是()A．直角三角形或等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形但不一定是直角三角形D．直角三角形但不一定是等腰三角形答案C解析由(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)))(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＝0，得(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))·(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＝0.∴eq\o(AB2,\s\up10(→))－eq\o(AC2,\s\up10(→))＝0，即|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AC,\s\up10(→))|.∴AB＝AC.9．设a＝(4,3)，a在b上的投影为eq\f(5\r(2),2)，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，那么b为 ()A．(2,14) B．(2，－eq\f(2,7))C．(－2，－eq\f(2,7)) D．(3,6)答案B解析方法一(验证排除法)∵b在x轴上的投影为2，∴b的横坐标为2，排除C，D项；又|b|≤14，排除A项；应选B.方法二设向量b＝(2，y)，由题意得eq\f(a·b,|a||b|)＝cosα＝eq\f(\f(5\r(2),2),|a|)＝eq\f(\r(2),2).将a＝(4,3)，b＝(2，y)代入上式计算，得y＝－eq\f(2,7)或y＝14.又|b|≤14，故y＝14不合题意，舍去．那么y＝－eq\f(2,7)，即b＝(2，－eq\f(2,7))．故应选B.10．与向量a＝(eq\f(7,2)，eq\f(1,2))，b＝(eq\f(1,2)，－eq\f(7,2))的夹角相等，且模为1的向量是()A．(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))B．(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))或(－eq\f(4,5)，eq\f(3,5))C．(eq\f(2\r(2),3)，－eq\f(1,3))D．(eq\f(2\r(2),3)，－eq\f(1,3))或(－eq\f(2\r(2),3)，－eq\f(1,3))答案B解析方法一|a|＝|b|，要使所求向量e与a、b夹角相等，只需a·e＝b·e.∵(eq\f(7,2)，eq\f(1,2))·(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(7,2))·(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))＝eq\f(5,2)，排除C、D.又∵(eq\f(7,2)，eq\f(1,2))·(－eq\f(4,5)，eq\f(3,5))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(7,2))·(eq\f(4,5)，eq\f(3,5))＝－eq\f(5,2).∴排除A.方法二设a＝eq\o(OA,\s\up10(→))，b＝eq\o(OB,\s\up10(→)).由得|a|＝|b|，a⊥b，那么与向量a，b的夹角相等的向量在∠AOB的角平分线上，与a＋b共线．∵a＋b＝(4，－3)，∴与a＋b共线的单位向量为±eq\f(a＋b,|a＋b|)＝±(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))，即(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))或(－eq\f(4,5)，eq\f(3,5))．二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．复数z＝eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，那么eq\x\to(z)的模等于________．答案1解析z＝eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i)＝eq\f(－i2－\r(3)i,\r(3)＋i)＝eq\f(－ii＋\r(3),\r(3)＋i)＝－i，|eq\x\to(z)|＝|i|＝1.12．A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上三点，eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))，那么eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(OA,\s\up10(→))＝________.答案－eq\f(3,2)解析由题意知，OACB为菱形，且∠OAC＝60°，AB＝eq\r(3)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\r(3)×1×cos150°＝－eq\f(3,2).13．向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，假设|a＋b|＝a·b，那么n＝________.答案3解析易知a＋b＝(3，n＋1)，a·b＝2＋n.∵|a＋b|＝a·b，∴eq\r(32＋n＋12)＝2＋n，解得n＝3.14．|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设eq\o(OC,\s\up10(→))＝meq\o(OA,\s\up10(→))＋neq\o(OB,\s\up10(→))(m，n∈R)，那么eq\f(m,n)＝________.答案3解析方法一如下图，∵eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up10(→))⊥eq\o(OA,\s\up10(→)).不妨设|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝2，过C作eq\o(CD,\s\up10(→))⊥eq\o(OA,\s\up10(→))于D，eq\o(CE,\s\up10(→))⊥eq\o(OB,\s\up10(→))于E，那么四边形ODCE是矩形．eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→)).∵|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝2，∠COD＝30°，∴|eq\o(DC,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(OD,\s\up10(→))|＝eq\r(3).又∵|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝1，故eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\r(3)eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up10(→)).∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\r(3)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up10(→))，此时m＝eq\r(3)，n＝eq\f(\r(3),3).∴eq\f(m,n)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),3))＝3.方法二由eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，那么可知eq\o(OA,\s\up10(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(0，eq\r(3))，又由eq\o(OC,\s\up10(→))＝meq\o(OA,\s\up10(→))＋neq\o(OB,\s\up10(→))，可知eq\o(OC,\s\up10(→))＝(m，eq\r(3)n)，故由tan30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，可知eq\f(m,n)＝3.15．直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))|，其中O为坐标原点，那么实数a的值为________．答案±2解析如图，作平行四边形OADB，那么eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))，eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))，∴|eq\o(OD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BA,\s\up10(→))|.又|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|，∴四边形OADB为正方形，易知|eq\o(OA,\s\up10(→))|为直线在y轴上的截距大小，a＝2.验证a＝－2时，成立．16．对于向量a，b，c，给出以下四个命题：①假设a∥b，b∥c，那么a∥c；②假设a＝|c|·b，c＝|b|·a，那么|a|＝|b|＝|c|＝1；③假设|a|＝|b|＝2，那么(a＋b)⊥(a－b)；④假设|a·b|＝|b·c|且b≠0，那么|a|＝|c|.其中正确的命题序号是________．答案③解析当b＝0时，①不正确；当b＝0时，且c＝0时，②不正确；③中，∵|a|＝|b|＝2，∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)，故③正确；④中取a≠0且a⊥b，而c＝0时，那么结论不正确，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(2coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，n＝(coseq\f(A,2)，－2sineq\f(A,2))，m·n＝－1.(1)求cosA的值；(2)假设a＝2eq\r(3)，b＝2，求c的值．答案(1)－eq\f(1,2)(2)2解析(1)∵m＝(2coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，n＝(coseq\f(A,2)，－2sineq\f(A,2))，m·n＝－1，∴2cos2eq\f(A,2)－2sin2eq\f(A,2)＝－1，∴cosA＝－eq\f(1,2).(2)由(1)知cosA＝－eq\f(1,2)，且0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3).∵a＝2eq\r(3)，b＝2，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(2\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(2,sinB).∴sinB＝eq\f(1,2).∵0<B<π，B<A，∴B＝eq\f(π,6).∴C＝π－A－B＝eq\f(π,6)，∴C＝B.∴c＝b＝2.18．(本小题总分值12分)向量a＝(cosα，sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，假设实数k使|ka＋b|＝|a－kb|成立，求满足不等式a·b≥0的k的取值范围．解析由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝(a－kb)2.即有k2a2＋b2＋2ka·b＝a2－2ka·b＋k2b2.∴8kcos(α－β)＝3(k2－1)．假设k＝0，那么有|a|＝|b|，与矛盾．∴k≠0，∴cos(α－β)＝eq\f(3k2－1,8k).而a·b＝cosα·2cosβ＋sinα·2sinβ＝2cos(α－β)＝eq\f(3k2－1,4k)，且a·b≥0.∴0≤eq\f(3k2－1,4k)≤2.解得－1≤k≤－eq\f(1,3)或1≤k≤3.19．(本小题总分值12分)向量a＝(eq\f(1,sinx)，eq\f(－1,sinx))，b＝(2，cos2x)．(1)假设x∈(0，eq\f(π,2)]，试判断a与b能否平行？(2)假设x∈(0，eq\f(π,3)]，求函数f(x)＝a·b的最小值．解析(1)假设a与b平行，那么有eq\f(1,sinx)·cos2x＝eq\f(－1,sinx)·2，因为x∈(0，eq\f(π,2)]，sinx≠0，所以得cos2x＝－2.这与|cos2x|<1相矛盾，故a与b不能平行．(2)由于f(x)＝a·b＝eq\f(2,sinx)－eq\f(cos2x,sinx)＝eq\f(2－cos2x,sinx)＝eq\f(1＋2sin2x,sinx)＝2sinx＋eq\f(1,sinx).又因为x∈(0，eq\f(π,3)]，所以sinx∈(0，eq\f(\r(3),2)]．于是2sinx＋eq\f(1,sinx)≥2eq\r(2sinx·\f(1,sinx))＝2eq\r(2)，当2sinx＝eq\f(1,sinx)，即sinx＝eq\f(\r(2),2)时取等号．故函数f(x)的最小值等于2eq\r(2).20．(本小题总分值12分)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足(2a＋c)·eq\o(BC,\s\up10(→))·eq\o(BA,\s\up10(→))＋c·eq\o(CA,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))＝0.(1)求角B的大小；(2)假设b＝2eq\r(3).试求eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))的最小值．答案(1)eq\f(2,3)π(2)－2解析(1)因为(2a＋c)eq\o(BC,\s\up10(→))·eq\o(BA,\s\up10(→))＋ceq\o(CA,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0.即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0.那么(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0.所以2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0.即cosB＝－eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(2π,3).(2)因为b2＝a2＋c2－2accoseq\f(2π,3)，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4.当且仅当a＝c时取等号，此时ac最大值为4.所以eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))＝accoseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)ac≥－2.即eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))的最小值为－2.21．(本小题总分值12分)假设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.(1)假设a，b起点相同，t为何值时，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在一直线上？(2)假设|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？解析(1)设a－tb