常数项级数的审敛法

nn§11-2一正级及审法

常数项级数审敛法正项级数

n

0n

(1)n显然，部分和数n

s

2

s

n

.

1.敛准则定理

正项级收部分数nn例1判别正项级数

sin2

2

的收敛性1解2

sin2

22

sin2

2n

111222n

2n

上界

级数收敛2.较审敛法定理设

n

v都是正项级数，unn

n

(n1,2,)若

v收敛,nn收敛；反之，发散，发散．nnnn分析，的部分和nnn

nsvn1212n

(n

)n

TH1收敛。反之，发散，必发散.因为若nnnnnv收敛,由上面已证结论也收敛，与假设矛盾nnn1

(npnp(npnpn推论

都是正项级数,如果级收敛，且存在自然数N，使nnN时kv(0)成立,则级收敛果级发散当Nnnnnn时kv(k成立,则级数n

n

u发散.n分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2

讨论—级数

n

1np

(2)

的收敛性，其中常数p>0．解设p，则

11但调和级数发散，故级数(2)发散．n11设p，xn时，有所以npp1n111nppnpp(n

2,3,1考虑级数,

(3)

级数(3)的部分和s1

2

113p

n

1

1(

1=1(p因级数(3)敛．由推论1知，级数(3)当>1收敛.n总之：p—级数2)当p时发散，当时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p—级数（调级数）例3判别下列级数的敛散性.

2n

un

n

2

nn2

2

18

nn

发散,

原级数发散(2).

sinn

un

1n2

1n2n

收敛,

原级数收敛练习.

2

1123nn2

uu3.较审敛法极限形定理

都是正项级数,nnn(1)如limn

(0

且级收敛，则级收敛；n(2)如lim

或limn发散，则级发散vvn例4

判别下列级数的敛散性.(1)sinn

1n

limn

sin

1nn

发散

原级数发散(2)n

n

tan

13

lim

2

13n

n

n

收敛

收敛4比值审敛法定理

设u

为正项级数，如果limn

unun

则当

u数收;(limnnun

时级数发;时级数可能收敛也可能发散证略，可参考教材）例5

判别下列级数的敛散性：(1)

n

3n

ulimnu3n

级数收敛!(2)n(3)nx

n

limn

un级数发散u2nnlimn

unun

x

0x敛,

x发散

x发散5.根值审敛---柯西判别法3

或limr或limr定理

为正项级数nnnnn

则

时级数收敛或limn

n

时级数发散级数可能收敛也可能发散（证略，可参考教材）n例6判别下列级数的敛散性(1)

n

1nn

n

un

n

110(nn

级数收敛(2)

n

n

n

un

53

级数发散6根限敛法（与—级数作比较）定理

为正项级数，nn(1)如nunn

nn

发散；nn(3)如果limn

u

收敛。nn例7

判别下列级数的敛散性（1n

n

limnn

,

发散.（2n

n

2

limunnn

tan22

,敛二交级及审法交错级数：(4)13或14

其u

都是正数．定理(莱布尼兹定理

如累交错级

n

u满足条件:nun

n

n(1,2,3,);(2)limnn则级数收敛，且其S,其余项的绝对值rn

n

.4

nn分析：先证明S的极限存在,为此把S写成两种形式:2n2ns

2

)1234

2n

)2及

s

2

u))145

u

2

2

)

2

.根据条件(1)知所有括弧中的差非负的由第一种形式可

2n

二种形式可见s

2n

1

，因单调有界数列必有极限，当

,

2n

趋于一个极限

s，且limsn

2n

u.1再证明项的和的极限也是s,事实上，s2n+1

2

2

2

.由条件(2)知limn

2

,因limn

2n

lim(n

2n

2n

).由limn

2n

sn

2n

n

n

u收敛于和s,且s.n最后rn

(

n

n

,

rn

n

n

,上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以rn(n例8判别级的敛散性。nn

n

.毕．1解unn

u

n

(

1,2,

)limunnn

1n

,所以它是收敛的，且其和。三绝收与件敛任意项级数134

它的各项为任意实数绝对值级数：

为正项级数，如果收敛,则称级nnnnn

u绝对收敛；n如果级收敛,发散，则条件收敛。nnnnn如

((绝对收敛nnn

n

条件收敛定理

如果级绝对收敛,则级必定收敛.nn5

分析收敛，vnn

12

()(nnn

),显vun

n

().由比较审敛法收敛，从v也收敛.nnnn,n

u

n

2n

u,所n

u收敛。nnn注意上述定理的逆定理并不成立TH8说明,,用正项级数的审敛法判定收敛。一般地，发nnn

nn散不能断定

u也发散但是若用比值审敛法或根值审敛法判定n

u发散则可断nn

n发散，因为从这两个审敛法的证明,上述两种审敛法判u发散的依据nnn是不趋于n