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文档简介
nn§11-2一正级及审法
常数项级数审敛法正项级数
n
0n
(1)n显然,部分和数n
s
2
s
n
.
1.敛准则定理
正项级收部分数nn例1判别正项级数
sin2
2
的收敛性1解2
sin2
22
sin2
2n
111222n
2n
上界
级数收敛2.较审敛法定理设
n
v都是正项级数,unn
n
(n1,2,)若
v收敛,nn收敛;反之,发散,发散.nnnn分析,的部分和nnn
nsvn1212n
(n
)n
TH1收敛。反之,发散,必发散.因为若nnnnnv收敛,由上面已证结论也收敛,与假设矛盾nnn1
(npnp(npnpn推论
都是正项级数,如果级收敛,且存在自然数N,使nnN时kv(0)成立,则级收敛果级发散当Nnnnnn时kv(k成立,则级数n
n
u发散.n分析:因为级数的每一项同乘不为零的常数k,以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2
讨论—级数
n
1np
(2)
的收敛性,其中常数p>0.解设p,则
11但调和级数发散,故级数(2)发散.n11设p,xn时,有所以npp1n111nppnpp(n
2,3,1考虑级数,
(3)
级数(3)的部分和s1
2
113p
n
1
1(
1=1(p因级数(3)敛.由推论1知,级数(3)当>1收敛.n总之:p—级数2)当p时发散,当时收敛.注:比较审敛法的:必须有参考级数。常用:几何级数,p—级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性.
2n
un
n
2
nn2
2
18
nn
发散,
原级数发散(2).
sinn
un
1n2
1n2n
收敛,
原级数收敛练习.
2
1123nn2
uu3.较审敛法极限形定理
都是正项级数,nnn(1)如limn
(0
且级收敛,则级收敛;n(2)如lim
或limn发散,则级发散vvn例4
判别下列级数的敛散性.(1)sinn
1n
limn
sin
1nn
发散
原级数发散(2)n
n
tan
13
lim
2
13n
n
n
收敛
收敛4比值审敛法定理
设u
为正项级数,如果limn
unun
则当
u数收;(limnnun
时级数发;时级数可能收敛也可能发散证略,可参考教材)例5
判别下列级数的敛散性:(1)
n
3n
ulimnu3n
级数收敛!(2)n(3)nx
n
limn
un级数发散u2nnlimn
unun
x
0x敛,
x发散
x发散5.根值审敛---柯西判别法3
或limr或limr定理
为正项级数nnnnn
则
时级数收敛或limn
n
时级数发散级数可能收敛也可能发散(证略,可参考教材)n例6判别下列级数的敛散性(1)
n
1nn
n
un
n
110(nn
级数收敛(2)
n
n
n
un
53
级数发散6根限敛法(与—级数作比较)定理
为正项级数,nn(1)如nunn
nn
发散;nn(3)如果limn
u
收敛。nn例7
判别下列级数的敛散性(1n
n
limnn
,
发散.(2n
n
2
limunnn
tan22
,敛二交级及审法交错级数:(4)13或14
其u
都是正数.定理(莱布尼兹定理
如累交错级
n
u满足条件:nun
n
n(1,2,3,);(2)limnn则级数收敛,且其S,其余项的绝对值rn
n
.4
nn分析:先证明S的极限存在,为此把S写成两种形式:2n2ns
2
)1234
2n
)2及
s
2
u))145
u
2
2
)
2
.根据条件(1)知所有括弧中的差非负的由第一种形式可
2n
二种形式可见s
2n
1
,因单调有界数列必有极限,当
,
2n
趋于一个极限
s,且limsn
2n
u.1再证明项的和的极限也是s,事实上,s2n+1
2
2
2
.由条件(2)知limn
2
,因limn
2n
lim(n
2n
2n
).由limn
2n
sn
2n
n
n
u收敛于和s,且s.n最后rn
(
n
n
,
rn
n
n
,上式右端是一个交错级数,它满足收敛的两个条件,所以rn(n例8判别级的敛散性。nn
n
.毕.1解unn
u
n
(
1,2,
)limunnn
1n
,所以它是收敛的,且其和。三绝收与件敛任意项级数134
它的各项为任意实数绝对值级数:
为正项级数,如果收敛,则称级nnnnn
u绝对收敛;n如果级收敛,发散,则条件收敛。nnnnn如
((绝对收敛nnn
n
条件收敛定理
如果级绝对收敛,则级必定收敛.nn5
分析收敛,vnn
12
()(nnn
),显vun
n
().由比较审敛法收敛,从v也收敛.nnnn,n
u
n
2n
u,所n
u收敛。nnn注意上述定理的逆定理并不成立TH8说明,,用正项级数的审敛法判定收敛。一般地,发nnn
nn散不能断定
u也发散但是若用比值审敛法或根值审敛法判定n
u发散则可断nn
n发散,因为从这两个审敛法的证明,上述两种审敛法判u发散的依据nnn是不趋于n
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