2023版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第7章不等式试题文

PAGEPAGE16不等式考点1不等式的性质与解法1.(2022·浙江，5)a，b＞0且a≠1，b≠1，假设logab＞1，那么()A.(a－1)(b－1)＜0 B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0 D.(b－1)(b－a)＞01.解析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得：当a＞1时，b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，代入验证只有D满足题意.答案D2.(2022·浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz2.解析作差比拟，∵x＜y＜z，a＜b＜c，(az＋by＋cx)－(ax＋by＋cz)＝a(z－x)＋c(x－z)＝(a－c)(z－x)＜0，∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz；(az＋by＋cx)－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx；(ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c)(z－x)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz，∴az＋by＋cx最小．应选B.答案B3.(2022·浙江，7)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，那么()A.c≤3 B.3＜c≤6C.6＜c≤9 D.c＞93.解析由得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c,－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝11))，又0＜f(－1)＝c－6≤3，所以6＜c≤9.答案C4.(2022·四川，5)假设a＞b＞0，c＜d＜0，那么一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)4.解析∵c＜d＜0，∴0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d)，∴－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，∴－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)，应选B.答案B1.(2022·山东，8)假设函数f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函数，那么使f(x)＞3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)1.解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq\f(2x＋1,2x－a)，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为eq\f(2x＋1,2x－1)＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.答案C2.(2022·大纲全国，3)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2＞0，,|x|＜1))的解集为()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}2.解析解x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；解|x|<1，得－1<x<1.所以不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即{x|0<x<1}，应选C.答案C(2022·广东，11)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________(用区间表示)．3.解析不等式－x2－3x＋4>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.答案(－4，1)(2022·江苏，7)不等式2x2－x＜4的解集为________．4.解析∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.答案{x|－1＜x＜2}考点2简单的线性规划1.(2022·山东，4)假设变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A.4 B.9C.10 D.121.解析满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0))的可行域如图阴影局部(包括边界).x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.应选C.答案C2.(2022·浙江，4)假设平面区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－2y＋3≥0))夹在两条斜率为1的平行直线之间，那么这两条平行直线间的距离的最小值是()A.eq\f(3\r(5),5) B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\r(5)2.解析不等式组所表示的平面区域如下图阴影局部，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,x＋y－3＝0，))解得A(1，2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,2x－y－3＝0，))解得B(2，1).由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即|AB|＝eq\r(〔1－2〕2＋〔2－1〕2)＝eq\r(2).答案B3.(2022·重庆，10)假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq\f(4,3)，那么m的值为()A.－3B.1C.eq\f(4,3)D.33.解析不等式组表示的区域如图，那么图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝eq\f(2m＋2,3)，C点横坐标xC＝－2m，∴S＝S△ACD－S△BCD＝eq\f(1,2)×(2＋2m)×(1＋m)－eq\f(1,2)×(2＋2m)×eq\f(2m＋2,3)＝eq\f(〔m＋1〕2,3)＝eq\f(4,3)，∴m＋1＝2或m＋1＝－2(舍)，∴m＝1.答案B4.(2022·安徽，5)x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1，))那么z＝－2x＋y的最大值是()A.－1B.－2C.－5D.14.解析(x，y)在线性约束条件下的可行域如图，∴zmax＝－2×1＋1＝－1.应选A.答案A5.(2022·广东，11)假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,x＋y≥0，,x≤4，))那么z＝2x＋3y的最大值为()A.2B.5C.8D.105.解析如图，过点(4，－1)时，z有最大值zmax＝2×4－3＝5.答案B6.(2022·天津，2)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x－2y≤0，,x＋2y－8≤0，))那么目标函数z＝3x＋y的最大值为()A.7B.8C.9D.146.解析作出约束条件对应的可行域，如图中阴影局部.作直线l：3x＋y＝0，平移直线l可知，经过点A时，z＝3x＋y取得最大值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,x＋2y－8＝0，))得A(2，3)，故zmax＝3×2＋3＝9.选C.答案C7.(2022·陕西，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元C.17万元 D.18万元7.解析设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影局部所示，可得目标函数在点A处取到最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12，))得A(2，3)，那么zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．答案D8.(2022·福建，10)变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－2y＋2≥0，,mx－y≤0.))假设z＝2x－y的最大值为2，那么实数m等于()A.－2B.－1C.1D.28.解析由图形知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2m－1)，\f(2m,2m－1)))，O(0，0)，只有在B点处取最大值2，∴2＝eq\f(4,2m－1)－eq\f(2m,2m－1)，∴m＝1.答案C9.(2022·湖北，4)假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,x－y≤2，,x≥0，y≥0，))那么2x＋y的最大值是()A.2B.4C.7D.89.解析画出可行域如图(阴影局部).设目标函数为z＝2x＋y，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2))解得A(3，1)，当目标函数过A(3，1)时取得最大值，∴zmax＝2×3＋1＝7，应选C.答案C10.(2022·新课标全国Ⅱ，9)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－y－1≤0，,x－3y＋3≥0，))那么z＝x＋2y的最大值为()A.8B.7C.2D.110.解析约束条件表示的平面区域如图中阴影局部所示.由z＝x＋2y，得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，eq\f(z,2)为直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)在y轴上的截距，要使z最大，那么需eq\f(z,2)最大，所以当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)经过点B(3，2)时，z最大，最大值为3＋2×2＝7，应选B.答案B11.(2022·山东，10)x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a＞0,b＞0)在该约束条件下取到最小值2eq\r(5)时,a2＋b2的最小值为()A.5B.4C.eq\r(5)D.211.解析不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0))表示的平面区域为图中的阴影局部．由于a>0，b>0，所以目标函数z＝ax＋by在点A(2，1)处取得最小值，即2a＋b＝2eq\r(5).方法一a2＋b2＝a2＋(2eq\r(5)－2a)2＝5a2－8eq\r(5)a＋20＝(eq\r(5)a－4)2＋4≥4，a2＋b2的最小值为4.方法二eq\r(a2＋b2)表示坐标原点与直线2a＋b＝2eq\r(5)上的点之间的距离，故eq\r(a2＋b2)的最小值为eq\f(2\r(5),\r(22＋12))＝2，a2＋b2的最小值为4.答案B12.(2022·新课标全国Ⅰ，11)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值为7，那么a＝()A.－5 B.3C.－5或3 D.5或－312.解析联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,x－y＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a－1,2)，,y＝\f(a＋1,2)，))代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7，应选B.答案B13.(2022·广东，4)假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,0≤x≤4，,0≤y≤3，))那么z＝2x＋y的最大值等于()A.7B.8C.10D.1113.解析由约束条件画出如下图的可行域.由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z过点A时，z有最大值.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,x＋2y＝8))得A(4，2)，∴zmax＝2×4＋2＝10.故答案为C.答案C14.(2022·福建，11)圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－y＋3≥0，,y≥0.))假设圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，那么a2＋b2的最大值为()A.5B.29C.37D.4914.解析平面区域Ω为如下图的阴影局部的△ABD.因为圆心C(a，b)∈Ω，且圆C与x轴相切，所以点C在如下图的线段MN上，线段MN的方程为y＝1(－2≤x≤6)，由图形得，当点C在点N(6，1)处时，a2＋b2取得最大值62＋12＝37，应选C.答案C(2022·新课标全国Ⅲ，13)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1≥0，,x－2y－1≤0，,x≤1，))那么z＝2x＋3y－5的最小值为________.解析可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(1，0)，B(－1，－1)，C(1，3)，直线z＝2x＋3y－5过点B时取最小值－10.答案－10(2022·新课标全国Ⅱ，14)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))那么z＝x－2y的最小值为________.16.解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x＝3与直线x－y＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z＝x－2y，得到z＝－5.答案－517.(2022·新课标全国Ⅰ，16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A，产品B的利润之和的最大值为________元.17.解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所消耗的材料要、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，,y≥0，,x∈N*，,y∈N*，))目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).答案216000(2022·安徽，13)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x＋2y－4≤0，,x＋3y－2≥0))表示的平面区域的面积为________．18.解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，可知S△ABC＝eq\f(1,2)×2×(2＋2)＝4.答案4(2022·新课标全国Ⅰ，15)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y＋1≤0，,2x－y＋2≥0，))那么z＝3x＋y的最大值为________．19.解析x，y满足条件的可行域如图阴影局部所示.当z＝3x＋y过A(1，1)时有最大值，z＝4.答案4(2022·新课标全国Ⅱ，14)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5≤0，,2x－y－1≥0，,x－2y＋1≤0，))那么z＝2x＋y的最大值为________．20.解析画出约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－5≤0，,2x－y－1≥0，,x－2y＋1≤0))表示的可行域，为如下图的阴影三角形ABC.作直线l0：2x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线z＝x＋y在y轴上的截距最大，即z最大，解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,x－2y＋1＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))即A(3，2)，故z最大＝2×3＋2＝8.21.(2022·北京，13)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，那么z＝2x＋3y的最大值为________．21.解析z＝2x＋3y，化为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3)z，当直线y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)在点A(2，1)处时，z取最大值，z＝2×2＋3＝7.答案7(2022·湖北，12)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,x－y≤2，,3x－y≥0，))那么3x＋y的最大值为________．22.解析作出约束条件表示的可行域如下图：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(－1，－3)，将三个点的坐标依次代入3x＋y，求得的值分别为10，6，－6，比拟可得3x＋y的最大值为10.答案10(2022·湖南，13)假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤4，,y≥1，))那么z＝2x＋y的最大值为________．23.解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，2)，C(3，1)，画出直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0可知，z在点C(3，1)处取得最大值，所以zmax＝2×3＋1＝7.答案7(2022·北京，13)假设x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x－y－1≤0，,x＋y－1≥0，))那么z＝eq\r(3)x＋y的最小值为________．24.解析根据题意画出可行域如图，由于z＝eq\r(3)x＋y对应的直线斜率为－eq\r(3)，且z与x正相关，结合图形可知，当直线过点A(0，1)时，z取得最小值1.答案1(2022·浙江，12)假设实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1，))那么x＋y的取值范围是________．25.解析由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，(2，1)，代入z＝x＋y，可得1≤z≤3.答案[1，3]考点3根本不等式1.(2022·湖南，7)假设实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，那么ab的最小值为()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.41.解析由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，知a＞0，b＞0，∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，∴eq\r(ab)≥eq\f(2\r(2),\r(ab))，∴ab≥2eq\r(2).应选C.答案C2.(2022·福建，5)假设直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，那么a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.52.解析由题意eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号．应选C.答案C3.(2022·陕西，10)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，假设p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，那么以下关系式中正确的选项是()A.q＝r＜p B.q＝r＞pC.p＝r＜q D.p＝r＞q3.答案C解析∵0＜a＜b，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞f(eq\r(ab))，即q＞p.又r＝eq\f(1,2)[f(a)＋f(b)]＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)＝eq\f(1,2)lna＋eq\f(1,2)lnb＝ln(ab)eq\s\up6(\f(1,2))＝f(eq\r(ab))＝p.故p＝r＜q.选C.4.(2022·重庆，9)假设log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，那么a＋b的最小值是()A.6＋2eq\r(3) B.7＋2eq\r(3)C.6＋4eq\r(3) D.7＋4eq\r(3)4.解析因为log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋4b>0，,ab>0，))即a>0，b>0，所以eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(3a,b)时取等号，选择D.答案D5.(2022·福建，9)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是()A.0元 B.120元C.160元 D.240元5.解析设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为eq\f(4,x)m，依题意得，y＝20×4＋10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2×4,x)))＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥8