常微分方程建模训练

常微分方程的模训练各位同学：欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型要目的有2是开阔大家的视野是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来就是平时讲的建模是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。

勿建立微分方程的途径主要有：1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等勿做2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过需要考虑的是在自变[xdx]的微dx，函数的增量的微分表达式。个人本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题微分方程是不够的组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化为一个对应与问题本身的特解何列出这样的条件需要训练你的观察能力为很多题目中些条件常隐含在题目的叙述中。个人勿做本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。/6

好，开始吧！有类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率刻的镭的质量成正比，比例系数

。求镭的衰变规律。个人勿又由经验判断，镭经过年，只剩下原始量的一半，求镭的质量

与时间

t

的函数关系。物上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物体的运动可用它的位移量

t)

来表示。个人收集整理

已知物体质量为m的体在外力F的作下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律

）外为地球重力；）外为与其速度的平方成反比的阻力；）外为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力；）外为独立的时间周期性外力

sin

；）外为上述阻力和周期性外力的合力。请你观察这些方程各有什么特点？结合课程学习，请仔细琢磨对应的解法会有何不同？一大炮以初速度，初始射角（仰角）发一发炮弹，计空气阻力，求炮弹的0弹道方程。求曲线族

ycx

2

（其中

为任意常数）的正交轨线族的方程式两族曲线正交指两曲线在交点处的切线相互垂直）（盯梢问题）甲乙两人，乙对甲盯梢，即乙与甲保持一定距离

a

，盯着甲而行，若甲沿直线前进，问乙的运动路线如何？假设甲开始时的位置不在乙的行走直线上人收集整

（击问题）兔子从原点出发沿轴向以速度a逃，同时一只狐狸从(c出，以速度

追捕兔子，求狐狸的追捕路线，并讨论狐狸最终能捉着兔子的条件。个人收集整理

质为1的指点受力作用作直线运动，此力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在秒时，速度等于50勿做商

/秒，力为4达。问从运动开始经过钟后的速度为多少？根水利学的定律，水从距自由面的深度为

cm的孔流出，它的流速为

2

，其中为力加速度现盛满水而高度为米半球形容器水它的底部的一个面积为1平方厘米的孔流出，孔口收缩系数为0.6该收缩系数指流出来的水柱截面积与孔口的面积之比流水所需要的时间

/6

一线通过（3两标轴肩的任意切线线段均被切点所平分该曲线方程。10求一曲线方程，使得曲线上任意一点处的切线恒垂直于此点与原点的联线。11.一线过，0点，且在其切点与纵坐标轴肩的切线段有定长2，求此曲线方程。12.曲

y(x)

，且通过原点和（，1点，它围成一以

[0,]

为底的曲边梯形，其面积与

f(x)的n幂成正比，求此曲线方程

13.求线，使其在

x,x

间的一段弧长倍此弧与

x,x及轴围的面积。14.求曲族，使其上任何点P处切线在y上的截距等于原点到的离。15.求曲，使曲线的切线上自切点至与x轴交点的一段距离为常数a。16.求曲，使曲线的法线上自曲线上的点至与x轴交点的一段距离为常数a17.求曲族，它在任何点的矢径（指原点到该点的有向线段）与在该点的切线所夹的角

为矢径与极轴间的夹角的

n

倍提示：设曲线的极坐方程为

r(

)

，则

drd

）

勿做商业18.一艇以小时的速度在静水上运动时停止了发动机，经过20秒后，艇的速度减至小时。试确定发动机停止2分后艇的速度

19定体在空气中的冷却速度正比于该物体的温度与它周围空气的温度之差一物体加热到

T

0

度时移入室内，如果室问保持常a

度，求温度随时间变化的关系

20.（上）假设是问为

20C，一物体由100C冷到60

C要经过20分时间。问共需要经过多少时间方可使该物体的温度从开始时的100C降到30？

21.根物学中热力学的波意尔定律，理想气体的密度与所受压力成正比。假设在海平面上每一平方厘米大气压力等于1千海平面高度米每一平方厘米大气压力等于千克求大气压力与高度的关系

22.将量

的物体在空气中以速度

0

垂直上抛，空气阻力为

kv

2

（

为常数在升过程中速度与时间的关系。又问该物体何时返回到抛射点/6

23.在题，若空气阻力该为

kv

，继续上题的问答。24.质为

的指点沿直线运动，受力为

，其中

ab

为正的常数，

为质点运动速度。若质点从静止出发，求它的速度与时间的关系

25.有放在铅垂平面内的刚性曲线果曲线以常角速度绕该平面内铅垂直线旋转时，在曲线任一点处放置的质点都能处于平衡状态。求此曲线的方程

26.设物质量

，以初速度

从一斜面上推下，若斜面的倾角为

，摩檫系数为

，试求物体在下面上移动的距离和时间的关系

27.求

y"

的经过点（，1）切在此点与直线

y

x2

相切的积分曲线。28.求率径为常数的曲线。29.设线在x轴上方）在它的每一点处的曲率半等于该点处法线在曲线与轴的长度。证明：若曲线是凸的，则它是悬链线；若曲线是凹的，则它是半圆周个人收集（该题请在讲了悬链线方程后做）

30.设簧上端固定，有两个相同的重物（每个质量m

）挂于弹簧的下端弹簧伸长了a。突然取走其中的一个，使弹簧有静止开始振动。求所挂重物的运动规律勿做31.有单长为l质量为m。其摆动角很小，求其运动方程，并确定每振动一次的时间（周期又若摆动角较大，又将如何？（物理学上称的单摆，指摆杆的质量不计的摆，故质量都集中在摆锤处32.一紧弹簧所受的拉力与他的长度伸长量成正比，当长度增加1cm时弹簧拉为，今有的体挂在弹簧的下端而保持平衡。假若将它稍下拉，然后松手，求由此产生的振动的周期

33.一的体挂在弹簧下端使弹簧的长度曾长了1cm假定弹簧的上端有一转动机产生铅垂振动

y2sin30t

，且开始时，物体处于静止状态。求此物体的运动规律。

勿做34.长6的链条自桌自上无摩擦地向下滑动，假定在运动开始时，链条自桌上垂下部分已有1米问需要多少间链条才全部划过桌子个/6

35.一条在一个无摩擦的钉子上定运动起始时链条一边垂下米另一边垂下米。问整个链条划过钉子需要多少时间个

36.设线L位第一象限，通过1.5上一点P处切线总与y轴交，交点。已知PA||

，求曲线方程。勿在上半平面求一条凸的曲线上任一点

(x,

处的曲率等于此曲线在该点的法线

长度的倒数（

Q

为法线与

轴的交点曲在，1）点出的切线与

轴平行勿做38.设线

L

的极坐标方程为

rr(

)

，Mr

)

为

L

上的任一点

0

是

L

上的一定点径

OM

0

与曲线

L

所围成的曲边扇形的面积值等于

L

上

(r

)

和

0两点间的弧长的一半。求曲线的方程

39.在个群中推广一种新技术是通过其中掌握了这项新技术的人进行的人的总人数为，在开始时已经掌握新技的人数为，任意时刻t已掌握新技术的人数为0xt)

，由于人数较多，可以将

xt)

视为连续可微变量。如果

xt)

的变化率与已掌握新技术的人数和尚未掌握新技术的人数之积成正比，比例系k。x(t)勿做

的变化规律个人收集40.从上大海沉方一科学测量仪器测量要求确定仪器下沉深度

y

（从海面算起）与下沉速度

之间的关系设仪器在重力作用垂直下沉下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。若仪器质量为

m

，体积为

B

，海水的比重为，仪所受阻力与下沉速度成正比，比例系数

k

，试建立

y

与

所满足的微分方程，并求函数关系式个

41.一子以速度

v2000

m/s打一块厚板子透板时的速度为设板对子弹的阻力与子弹速度的平方成正比。求子弹穿过板所用的时间人收

42.有个3030×12立方米的车间，空气中含有1.12%二氧化碳，现用一台通风能力为每分钟1500立米的鼓风机通入含有，的二氧化碳的新鲜空气，同时用另一台样通风能力的鼓风机把混合后的空气抽出。问鼓风机开动10分后车间内的二化碳的百分比降到多少

43.有圆形容器，尖顶在下，底在上，顶角为

2

为

H

。今在顶部截去高为H的圆锥，使形成一小孔，先用木塞子将孔塞住，并在容器里灌满水，然后把0塞子拔去，让水流出。设水流出的速率为

2(0

为该时水面与孔的高度差。问经过多少时间，水将流尽

/6

44.沿平向作直线匀速飞行的麻雀的正上方50m处一只秃鹫麻雀的正下方100m处有一只老鹰鹫鹰一起朝麻飞去捕食同时到达捕捉目标设鹰的飞行速度是麻雀的2倍，问秃鹫的飞行速度是麻雀的多倍

45.狗其人在岸边隔岸相对，河