第17讲 认识多边形

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认识多边形教目．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式．．过探索平面图形的镶嵌，知道意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进镶嵌设计．典精【例１】如图所示是一个六边形．(1)从顶点A出发画这个多边形所有对角线的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于边，n边的一个顶点出发，可引－3)条对角线，它们将这边形分成(－2)三角形形一共有

n3)2

条对角线，解：(1)从顶点A发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是、、AE将六边形分成四个三角形eq\o\ac(△,)ABC、ACDeq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)AEF；(2)六形共有条对角线．变练．列图形中，凸多边形()A1个B2个C．个D．形的一个顶点有7条对角线形没有对角线k边对角线条数等于边数，则＝______，＝______，k＝．03．知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍则此多边形的边数是．【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍【解法指导】(1)多边形的内角和式的推导：从边一个顶点作对角线，可以(－3)对角线，并且将n边形分成(n个三角形，这(－2)三角形内角和恰好是多边形内角和，等(－；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多形内角和，求其边数．解：(1)八边形的内角和为－＝；(2)设形的内角和是八边形内角和的2倍则有(－＝×2，解得＝．故四边形的内角和是八边形内角和的倍变练．知边形的内角和为2160，形的边数．．果一个正多边的一个内角是108

，则这个多边形是（）A正方形B正五边形．正边形D正七边形．知一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是（）A8B．．6D．．图，、∠2∠3、∠4是边形ABCDE外角，且∠＝∠＝∠3∠4＝，∠的数为（）A

B

C．105

D．100

0．当多边形的边数增加1，它的内角和与外角和（）

00000000000000000000000000A都不变B．内和增加180，外角和不变00000000000000000000000000C．角和增加180，角和减少．都增加【例３】一只蚂蚁从点A出，每爬行5cm便转，这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个多边形的每个外角均为

，则这个多边形的边数为

0600

＝．所以这只蚂蚁需要行＝才回到点A．【解法指导】多边形的外角和为360．(1)多边形的外角和恒等于，与边数的多少无关．(2)多边形的外角和的推导方法于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角以n边内角和加外角和等于

，角和等于n·180

－(n2)·180

＝360

．(3)多边的外角和为什么等于

，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360．多边形的外角和为360的用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数．变练．边形的内角和_．度．．图所示，已eq\o\ac(△,知)ABC中∠A＝，去A后四边形，则＋∠2．n(n为整数，且n边的内角和比n＋1边形的内角和___．．图所示，小明在操场上从点A出，沿直线前进10米向左转40，再沿直线前进10米，向左转40，…，照这样下去，他第一次回到出发地A时，一共走____．【例４】已知两个多边形的内角和为，且两多边形的边数之比为：，求这两个多边形的边数．【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2，可设两个多边形的边数为和5x，利用多边形的内角可列出方程．解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：－＋－2)·180＝1800，解得x＝，∴2x＝4，5x＝，故这两个多边形的边数分别为4和．变练．个多边形除去一个角后，其余各内角的和为2210，这个多边形．一个多边形的外角和是其内角和的

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，则此多边形的边数_____2．一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，这个多边形是（）3A三角形四边形．边形D．边形．角和与其外角和相等的多边形【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是）A正三角形B．长方形．八边形D．六边形【解法指导根据平面镶嵌的定可知一个顶点处各多边形的内角和为由正三角形长形、正六边形的内角都是360的数因它们可用来完成平面镶嵌正八边形的每个内角为不的数，所以正八边形不能把平面镶嵌．解：选．变练．一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是）A正三角形B．正方形．方形D．正五边形

0000000000000000000000002．明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要满地面而不重叠，瓷砖的形状0000000000000000000000002A正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形C．方形、正五边形D正三角形、正方形、正五边形、正边形．用下列正多边形能平面镶嵌的是（）A正五边形B．正六边形C．正边形D．十边形．图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到个小正方形，称为第次操作…，根据以上操作，若要得到个小正方，则需要操作的次数是（）AB．671D【例６有一个十一边形由干个边长为的等边三角形和边长为1的方形无重叠无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形．【解法指导】正三角形的每个内角为，方的每个内角为90，们无重叠、间隙可拼成、、120四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的数．解：因为正三角形和正方形的内角分别为，此可拼60、、120、四种角度，十一边形内角和(－2)×180＝－2)×180＝．因为120＜1620

＜150×11所这个十一边形的内角有120

和150

两种设120的角有，

的角有n个，则有120

m150

＝1620

，即＋5n＝此方程有唯一正整数解

n

，所以这个十一边形内角中有1个角为，个为，十一边形如图所示．变练．图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了层不包括中央的正六边形地砖层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为．5m则第12层外边界所围成的多边形的周长___________．．明的书房地面为的方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发最适宜选用的地砖规格为（）A的方形，B．的方形，C．的方形，．的正方形，．边形、正n边及正p边形各取一个内角，其和为，求

11m

的值．巩提．一个顶点处，若正n边形的几个内角的和，则此正n边可铺满地面，没有空隙．．如图，用同样规格黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为块时，白色瓷砖块，当白色瓷砖为n（n为整数）块时，黑色瓷为块．．黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地图案：则n个图案中白色的地板砖有_____块．

02200220．图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一有六个白色正六边形，则第有_____白色正六边形．．果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一顶点周围都有个正多边形，则该正多边形的边数为（）A3B．4．D6．列不能镶嵌的正多边组合是（）A正三角形与正六边形B正方形与正六边形C．三角形与正方形D．五边形正十边形．两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）A边长相同B．每一点的交接处各多边形的内角和为180

0C．长之间互为整数倍D．在一点的交接处各多边形的内角和为，且边长相等．三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻，其中两块木板的边数都是8则第三块木板的边数是（）A4B．．6D．．珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A正三角形B．正方形．六边形D．八边形．们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板请画出图形．11某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为、y，你能找出x、y、z之有何种数量关系吗？请说明理由．．色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按12，个图案[图(1)、、(3)]律依次下去，则第个案中黑正三角形和白色正六边形的个数分别是（）An＋＋，2n＋B．2n，＋1C．，－＋3D．4n，2n培升检．一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002，则这个多边形的边数为（）AB．12或．D．14或15．一个边长为4m的六边形客厅，用边长为的三形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A块B288块C．384块D．512块

00000000．图，A＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度等于（）00000000AB．540D

0．凸边的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边分成了个三角形，若等这个凸n边形对角线条数的

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，那么此形的内角和为___________．．图，已知DC，BAE＝BCDAE⊥DE∠D130，求B的数．图，小亮从点A出，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米，又向左转30照这样下去，他第一次回到出发点A时一共走了米．．图，两直线AB、平行，则＋∠2＋＋∠＋∠5∠6（）0AB．800D

0

，，．一个宽度相等且足够长的纸条打开个结(1)，然后轻拉紧平就可以得到如(2)示的正五边形，ABCDE其中∠BAC＝_________．．形ABCD的边长为，为，沿着对角线BD剪，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m周长最小为n则mn的值为（）AB．136D．正方形ABCD划如图①，其中E、分是、中点M、、G分是OB、、的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成七板(1)如果设正方形的边长为1，这七块部件的各块长中，从小大的四个不同值分别为、xx、1x那x＝各角中最小内角是度最内角是_____用它们拼成一个五边形如图②，3其面积是．(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小