复合函数零点问题1

一、基础知识：复函数定义

f

，t

且数

g

的值域为

f

定义域的子集，那么通t联系而得到自变量的数，称是x的合函数，记为

y、复合函数函数值计算的步骤：求

yg

函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知

f

，计算

g解：

f

、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求

的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出

的值如

f

g

g

，求解：令

t

t解tt2当

tf

，当

tf

，则

综上所述：

由上例可得，要想求出

g

的根，则需要先将

f

视为整体，先求出f

的值，再求对应

的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：函的零点设

f

的定义域为D若存在x使f0

则x0f为的一个零点、合函数零点问题的特点：考虑于

的方程

g

根的个数，在解此类问题时要为两层来分析第一是解关于

f

的方程观察有几个

f

的值使得等式成立第二层是结合着第一层

f

的值求出每一个

f应将的数汇总后即为

g

的根的个数、求解复合函数

y

零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧，在处理问题的开始要作出

f

的图像（2若知零点个数求参数的范围先估计关于

f

的方程

g

中

f解的个数，再根据个数与

f

的图像特点，分配每个函数值

fi

被几个

所对应，从而确定

fi

的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R的函数

fx

,

，若关于x的方程f

由不同的解

x,xx13

，则

2x2

x

思路：先作出

f

的图像如图：观察可发现对于任意的

，满足

f

的

的个数分别为2个（

y0

）和3个

y0

知有3个解从而可得

f必为

f

的根另一根为

或者是负数以

fi

可解得：x0,2123

，所以

53答案：例2于

的方程

2

的不相同实根的个数是（）3B.45思路将

x

视为一个整体

t

则方程变为

t

t

可解得：t

或

t

，则只需作出

t

的图像，然后统计与

t

与

t

的交点总数即可，共有5个答案：例3：已函数

11f(x)x|x

，关于x的程f

(x)fx（

aR

）恰有6个同实数解，则的值范围是．22222222思路：所解方程

f

(f)

可视为

ff

，故考虑作出

f

的图像：

f

2,x2x,0x,x

，则

f

的图,x像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有f2解得a答案：

，所以

f2

，例4已知定义在

R

上的奇函数当

时，

fx

f

则于

的方程

的实数根个数为（）

C.

8

9思路：已知方程

可解，得

f1

1,f2

，只需统计1yy2

与

f

的交点个数即可。由奇函数可先做出

的图像，

2

时，f

的图像只将缩为一即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：小炼有话说在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例：若函数

f

32

有极值点

x,x，且111

，则关于

的方程3

的不同实根的个数是（）A3B．C．5D．62222,2,11,1,2222,2,11,1,思路：

f

由极值点可得：

x,x为312

①的两根观察到方程①与

3

af

结构完全相同，所以可得

3

2

两根为ffx21

，可判断出

x1

是极大值点，

x

2

是极小值点。且f

1

f

有两个交点，而

f

有一个交点，共计3个；若xx1

2

，可判断出x是极小值点，x是极大值点。且12f

f11

所以

f

有两个交点

f

有一个交点，共计3个。上所述，共有交点答案：A例6已函数

f

x

若程

x

x

恰有七个不相同的实根，则实数

的取值范围是（）

C.

思路：考虑通过图像变换作出

f

的图像（如图），因为

最多只能解出个

f

，若要出七个

根，

则

f2

，

所

以f2答案：

，解得：

b例已函数

f

ex

若于的程

f

恰有4个相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

C.

x1212x1212思路：

f,

，分析

f

的图像以便于作图，时

，从而

f

在

1e

且

0所以正半轴为水平渐近线；当

时，

f'

，所以f

单调递减此图图像可恰有不等实根关于

f

的方程

f

1中f,fxe

，从而将问题转化为根分布问题，设

t

，则

t2mtm

的两根tt

，

设

g

t

有me

，解得

1me答案：小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例已知函数

fx

x,x

，则下列关于函数

yf

的零点个数判断正确的是（）当当

aa0

时，有零点；当时，有个零点；当

a0a0

时，有零点时，有个点C.无a为值，均有2个点无为何值，均有零点思路：所求函数的零点，即方程

f

的解的个数，先作出

f

的图像，直线

yax

为过定点

的一条直线需对

的符号进行分类讨论

a

时，22图像如图所示，先拆外层可得

f

1

21xf，fa2

有两个对应的x，f

也有两个对应的

，共计4个当

a0

时，

f

的图像如图所示，先拆外层可得

f

11，且fx2

只有一个满足的

，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确答案：A例9：已知函数

f

1xxg

，则方程g

（

a

为正实数）的实数根最多___________个思路：先通过分析

f

的性质以便于作图，f

xx

，从而

f

在

单增，在

单减，且f

，

g

为分段函数作出每段图像即可图示要数根最要先选取

f

能对应x较的情况

f

图像可得

f时个

f

可对应3个

需断

g

中，f

取得的值的个数即可，观察

g

图像可得，当

a4

时，可以有2个

f

，从而能够找到6个，即最多的根的个数答案：例：已知函数

f

的图像如下，给出下列四个命题：方程方程方程

fgf

有且只有6个有且只有3个有且只有5个（4）方程

g

有且只有4个根则正确命题的个数是（）B.24思路个程都可通过图像先拆掉第一层内层函数能取得的值而计出总数。

的（中可得

g

有2个应的，g

有3个