复变函数与积分变换习题解答

iii......iii练一．求下各复数的实虚部模幅角i（3i

；

（

(

i

)

3解=

iii

5i

i3解(cossin)3

3

]

z

1625

z

825

825

Rezzk1Argzk2

z．将下复数写成三角表式）

3i

i（1

i解

3i

i

5

5sin

解

)．利用数的三角表示计下列各i（3i解

i.

学习帮手

.

3......3icos

sin

（

4i解

4i

3[2)]4

328

k4k33k]sin]sin41616

4．.设

z,z1

三点适合条件

z13

=0，

z

z,z123

是内接于单位圆

=1的个正角形的项点

1203证因

zz2

所以

z,z12

zz都在圆周

又因

z123

=0则

,

3

，所

z2

也在圆周上又zz22

所以以0

zz12

为顶点的三角形是正三角形所以向量z与112

之间的张角是

，同理

z与2

之间的张角也是

，于

z与12

之间的张角

2是

，理

z1

与

z

3

，

z

2

与

z

3

之间的张角都是

所

z,z123

是一个正三角形三个顶点。．解方z

3

.

学习帮手

.

1......1解:zz

k2sin3

k13zi322z2

sin

zcos3

5sini32．试证当

时则

1

。证

11．设

2

z0,

是的辐角求证

z

n

2cosn

证

z

z

2

则zsin

当

sin

时

inn

[cos(sin(cos故

2n

当

zsin

时同理可思考题（复为什么不能比较小答复域不是序复数的几何意义是平面上。（是任意复数都有辐答否z是模零辐角无定义复。.

学习帮手

.

则2......则2练习二．指出足下列各式的点Z的迹是什曲？y（

arg(z)

解设

zxiy

则

z)(

i0

则点Z轨迹：（

Re()

，其

a,b

为实数常数解设

zxiy

则

())

)x)x

2

2(ax22aa)(若

a

则轨迹：

y若

则

轨迹

2

2(

b0

a2若

a

则

无意义（zzaz其中为a复数b为实常。解由设可：

(zz)0.

学习帮手

.

222222222222即

......za若

，则的迹为一点a若

a

，则的迹为圆圆心在

a半为

y

若

a

，无义0．用复数方程表示曲，连接1与i

直线段解

z)i))]t

0

(-1,-4)则

(1)i)

(03描下列不等式所确定和区域与闭域并指明它有界的还是无界的是连域还是多连域并出域边界的方向（）

zRe

y解由

，得

又

1得

0有界单连域（z

2

y解令

zxiy由

Re

x

y

-1

00

1

x即

2

2

无界单连域.

学习帮手

.

则和则和（

......y解令

zxiy

则

)y2)

2

x无界多连域．对于数

f()Im描出当在域D内变化，w

的变化范围解令则

zxiyf(i()

vIm0,y0Rew的变化范围在第象限但不包括虚轴

0

u试证

z

不存在证

0

z

=

limxy

iy令

kx

则上述极限为

ki

不确定因极不存。思题（）怎样理解复变函数

f

？答设

u,ziy则wfz)

就是uf(x)xy)()即

(x,y)x)

因此一复变函数

fz)

与两个实变函数

(x)x,y)

相对应.

学习帮手

.

Gx....Gx从几何意义上来变函数可以看作是

z

平面上的点集

D

到平面上的点集上的映射（）设复变函数

f

当

0

时的极限存，此极限值与z趋于

z

0

所采取的方取的路径有关答没有关系，z以任意方式于

z

0

时极值都是同的反过来说，若z两条不同的曲线趋于

z

0

时极限值不相等，则说

f

在

z

0

没有极限，这与等数学中的情形是类似的只一实函数中只能从左右以任何方式趋于

0

，而这里可以从四面八方任意趋于

z

0

。.

学习帮手

.

z......z．用导定义求

f)zz

练习三的导数解

f(zf()

0

(Re(zRezlim0

zRezRe

limRe

)z0

)(

)当z时导数不存在，当z时数为0。．下列数在何处可何处不可导何处解何处不析？（

f(z)

z.

学习帮手

.

222xyf)且......222xyf)且解

f(z)

ziyy

2

(xy(x)

(2)2

xy(2)

(

2y2

)

2

()

2当且仅当时

满足C条件故当时f()

可导但在复平面不解。（

f(z

2(3x2

解令

f(uy)(xy则

uxyxuy

xx22y因

f)

在复平面上处处足C条，且偏导连故

f)

可导且解析．设

(x)

为解析函数试确

l,n

的值。解由条件可：

2nl

所以

又

3

所以

3m且即

n设

f)

在区域D内解析试证在D内列条件是彼等价。（

f)

=常数）

f

0

；（）

fz)

常数（

Imf(z

常数；

f()

解析）

f(z

常数证由

f(z)

在且域D内解析则可方程成即.

学习帮手

.

则因x,......则因x,）→由

fcf

在内立故显成，）→由

f

u(xy)

是常数即

fz)

常数）→）u

常数

0

由C

条件

0(x)

是常数）→若

Imf)常数Imf(z)f(z),f(z)icf()1

在内析

0,

0即

,

一阶偏导连续且足条件

f(z

在D内解析）→）

f()g(z)f(z)u

因

g(z)

解析则由C条件

，对()

在内析0v为常数0v为常数

f(z

为常数）→）

f(z

常数

f(z)

2

=常数令

2

2

c分别对求导数得.

学习帮手

.

(zzzzzz..(zzzzzz2)()0若u2

则

uv0,fz)

，因得证若u

2

2

0则

，故u数由C条件

0,

为常数思题（复函数

f)

f(常数在一点0可与在0解有什么区？答

f(z)

在0解则必在可，反不对这是因为

f(z)

在解析不但要求

f(z)在

z

0

可导，而要求

f)

在0的某个邻域内可导因

f)

在解析比

f

在0可的要求高得多如

f(zz

2

在

z

0

=0处导但在

0

处不解。（函

f)

在区域内析与

f(z)

在区域内可有无区？答无两等）（用

条件判断

f)(,)x,)

解析时应注意些？答

(,(x,)

是否可。（判复变函数的可导或解析性一般有哪些方。答一是定义二是充要条件三是可（解函数的差积商与复仍可（解析函。练习四．由下条件求解析函数

f(

：.

学习帮手

.

pxvpxv（

......uxf解由

fz)

解析可知

y

y

x

而

xy则

x2yxyy所以

v(xy)

vdy

2ydy2

(x)x

(x)

x

2

f(2)由可知f()x(

2x（

arctg

解因

2

y

2

y

2

y

2

由

f(z)

解析可知：

y

y

y

x

2

2x,)dx

1ln(22y)y2

2

u(x,y)

lnx

2

2

)即

f(z)

ln(xy2)iarctg．设

sin求p

的值使v

为调和函数并出解析函数

f(u

。解要

,y)

为调和函数：

0

，即

px

sin

px

sinp

时为和函，要使

f

,u解析，则x

.

学习帮手

.

y....yu(x)

u

vdy

e

ydx

1p

epxcosyy)1up

siny

siny

11)e)ppp

)

即

(x,y)cosy

y)f(z)osin)．如果

f(

为解析函数试是的轭调和。证因

f)

解析有

0,,xy

x所以u均为调函数且亦为和函数vv故是

的共轭调和函数．如果

fu

是一解函数试：

if(z

也是解析函。证因

f)

vu解析则

且

u,v

均可微从也可微而

ifv可知：

vy

即满足条件．试解程

if()

也是解析函数.

学习帮手

.

i(k......i(k（

z

i解

e

i2(cos

sin

)

n(2k)

zk（cos

)k解由设可：

i2z

kz．求下各式的：（

(4i)

解

Ln3

3(4i)解ln5arg(i

327

(ln2k

27

lnln5(2)3（2（

27

2

3)sin(ln3)]解

e

2

2

i

2

(cos1sin1)思题（）为什么复变指数函数周期函，而变指数函数没有周？答于实数是复数的特例，此在把实变函数中一些初等函数推广到复变数情形时要定义的各种变初等函数当

z

取实数时相应的实变等函数有相同的值并保持某些性质不变但能保持所有的性质不变.

学习帮手

.

当时ln......当时ln复变指数函数并能保持实变指数函数的所有性如对复

z

，一般没有

z

而复变指数函数的期性，仅当周是复数（

i

）才显现出来。所谓变数函数

x

没有周期是其有实的周。（）实变三角函数与复变角函数在性质上有哪些异？答两者在函数的奇性、周性、可性上是类似的且导数的形式、加定理正余弦函数的平和等公式也有相同的形。最大的区别是，实变三函数中正弦函数与余弦函都是有界函数，在复变三角函数中，

z

与

z

不再成因eiz1sinz221eiz21ey2

ey

。故

（）怎样理解实变对数函与复变对数函数的异？并解复变对数函数的运算性。答因为我们把对数数定义为指数函数的反函数所以复变指数函数的多值性推出复变对数函数也多值函，

Lnzz

的主值即

zlnzz

，单值函数，当zx而

时

ln

就与高等数学中的值一致。在复变对数函数运算性质中注意到等式zlzz)zz1122要对其含义理解楚在实变对数函数中它们的意义是明了的，但复变指数函数中例.

学习帮手

.

2vv......2vv如Lnz)LniArg().2zln,lnzln1而

lnzzln1

，Arg(z)11

2应理解为：任意定等式两端两个多值函数一对可取的值端多值函数也必有一个值使等式成立。反过也一样。也就理解为等式两端可能取函数值从全体上讲是相同的即不能只考虑某一值）后一式也同样理解但对等式nLnz(zn)

和

Ln

zLnz它从全体上看还如

nLnn取n

时设reiLnz2lnr(2k

0,而从z2r2ei得Ln(z

r

),

0,

1,

两者的实部是相，但虚的可取值不完全相。（）调和函数与解析函数什么关？答如

f(u

是区域

D

内的解析函数则的实部和虚部的阶偏导数必连续从而满足拉拉斯方所以是调和函数由于解析函数的函数仍是解析函数所它的实部和虚部的任意偏导数都是的相应阶导数的部和虚部以它们的任意阶偏导数都存且连续。故可以出的任意阶偏导数是调和函数（）若是u的轭调和，可以说是v的轭和函数？答不两的地位不能颠倒因为若是的轭调和函数则有

f(z)v.

学习帮手

.

v......v,;

而是的轭调和函数求

,

两者一般不能同时成立所推的是是的轭调和函。.

学习帮手

.

11......11练习五．计算分

10

[(xy)ix

2

]

，积路自点沿实轴至1再铅向上至i

。解

1

[()]

(1,i)

(1,0)(0,0)

[(xy)]2dz

(1,0)(0,0)

[(xy)

2

)]dz

0

(x)

)0i

0．计算分

c

zz

的值其为）

（）

解令

zre

则

z

z2rez0r

rie

i

当r2时为

i当

r4

时为

8

i．求积

ezz

dz

z的值其中C为由正向圆周与负向圆周所组成解

ezz

eezdzz

1

y

D2．计算

c

z

2

，其为圆

z

1

2.

学习帮手

.

1iii2CaCC......1iii2CaCC解

c

z2

1z(

dz

1(z

dz

1z

dz．计算列积分：（

sin解

0

sinzdz

z

i（

1

z解

1

ze

z

zez)ie11

1．当积路径是自

沿虚轴到

，利积分性质证：

i

(

2

iy

2

)dz2证

(x

2

)dz

(x

2

iy)21.2思题（1积分的定义中为什么要强调积由到的积分有什么区别

f)

“沿曲线C由到的分它与沿曲线答在定积分中已有

ba

f(x)dx

b

f(x)dx

即积是与区间的方向关的这f(z)

在上积分也与的向有。这从积分和式

nf(n

中的因子.

学习帮手

.

CC......CC

可直接看出若变

C

的方向即

f)

是沿曲线由到积分则分与原积分反号

fzdz

f()其中C

表示的反向曲线（）复函数

f

的积分与实一元数定积分是否一？答若是实轴上的区间

[

，由义知

f(()dx即为一个实函数积分如

f()

是实值的则为一元实函的定积分因而样定义复变函数积分是合的而且可以把高等数学中的一元实函数的定积分当作复积分的特例看待应当注意的是一不能把点为终为的函数fz)的积分作fz)dz因为这是一个线，要受分路线的限必记作

f(

，（）应用柯西古萨定理应注意些什？答必须注意定理的件单域，被函数虽然在B内处处解析，但只要B不单连的定的结论就不成立。例

f(z)

3z在圆环域：2内析C域内以原点为中心的正向圆但

C

z

，就因为不满单连域这个条。还要注意定理不反过来用即不能因为

f)dz0

而说

f)

在内处解析例

z

z2

0

但

f(z

z2

z在内并不处处解析。.

学习帮手

.

......练习六．计算列积分（

2z

dzz解

z

为奇点

z

zz

z

（

ez

dz.

学习帮手

.

......解

299!

e

z

z099!（

sin(z

)

解

sin(z

)

(sinz)

z

2

z

z

2

=0cos（c3其

2;C:2

为负向解

cosz3

coscoszdzzcz

z)z)

z0或

2若

f)

是区域内非常数解析数且

f)

在内无零点则

f)

不能在G内到它的最小模1证设

zf(z)

，

因

f)

为非常数解析函，且

f()0则

gz

为非常数解析函

所以

gz)

在内能取得最大模即

f)

不能在G内得小模设

f(z)

在

fz)上解析且上有

试证

f

)

。证因

f()z()

在

上所以

f(z.

学习帮手

.

2与CC......2与CCf

12

f(z)1dz12()2

f()z1()22

dz

2

ds

111(x2y(xy)在z24

上4．设

f(z)(z)

在区域

D

内处处解析为

D

内的任何一条简闭曲线的内部全含于

D

，如果

f)

=g(在C上有点处立试在内有的点处

f)

=g()

也成立证设

(z)f(zg(z)

，因

f(gz)

均在

D

内解析所以

F(z)

在

D

内解析在上

F(z)(z)

，

c0

有

F()

(z)ic

dz所以

f((0由

z

0

的任意性可在内

f(z)思考题（）复合闭路定理在积分算中有什么用处要意什么？答复合闭路定理，以把沿区域外边界线的路积分转化为沿区域内边界线积分从便于计算特地如果分回路的内域中含有被积数的有限个奇点，们就可以挖去包含这些的足够小的圆域括边界），函在剩下的复连域解析，由复合闭路定理就以将大路的积分换成分别沿这些小圆的回路积利用复合闭路定是计算沿闭曲线积分的最主要.

学习帮手

.

CCCCCCCC使用复合闭路定，要注曲线的方向边曲线由

CC,2

,C

所围，

f()

即

C

f(dz0

这时

0

取逆时针方向而12n取时针方向而公式

fz)dz

fz)dz中

C1

,C

都取逆时针方。（）柯西积分公式成立的件是什？柯积分公式说明了什么问？答柯西积分公式是立在柯西积分定理基础上的以柯定理成立为前提条件因此柯西定理的条件是柯西积分公式成立的条件即函数

f)

在以为边界的区域上解f(z)析当也可以宽到在内解析在上续柯西积分公式反了解析函数值之间很强的内在系

f)

在区域内点的值

f)

，可以用

f)

在边界上的值通过分来表达就是说函数

f)

在区域中任一点值完全由它在区域界上的值所确定这是实变量可微函数所不具有的（）解析函数的高阶导数式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不？答高阶导数公式说，函

f)

只要在闭区域中处处可微，它一处处无限次可微，并它的各阶导数均为闭区域上解析函。这一与实变量函数有本质的区。我们知道，对于实数

f(x)

而言，即使它在某一间上一次可导，导数

f

不一定仍然可导甚可是不连续。.

学习帮手

.

z......z练习七．序列

zn

n!n

i

n

是否有极限若，求出极限!i

n解因

limn

zzn

n

limn

n(n(n

lim[1n

n

]故级数

z

n

收敛则通项

0,(n即序列n有限亦即

zn

n

limn

!n

i

n

0级数

n

ni!

是否收敛是绝对收？解因

inn!

n!n

收敛因绝对收故级数收敛．试确下列幂级数的收半。

cos()z

n（

n.

学习帮手

.

n......nn解

Rlimn

CcosnlimCninn

limn

(

1(nlimn

n1n(

(

)

（解

Rlimn

nn

n当当当

a

时时时

Ra．将下各函数展开为

的幂级数并指出其收敛区。（

)

2解

2

)zn)n(znn收敛域为

（

.

学习帮手

.

......解

(z

zz

e

zz

，令

f(z)

zz

，则

f

f(z)

(z

2

f

f(z对此求导

f

f

z0(4)f(0)ff(0)

f

故

e

2zz2!3!4!

z（

z解

dz

=

0

nnn

z2n0nn

!2n

n,

z．讨论数

znn)

的收敛。解级的部分为

S

(

n

n

)z

n

limlimzn

当

z

时,

limnn

级数收敛当

时,

limSn

n

不存在级发当

z

时,

limS0,nn

级数收。.

学习帮手

.

..当

z

时

limSn

n

不存在级数发。．证明

z

在

内解析证当

时显然

，令

z

，则

，此数在

是收敛。故在

w

是解析的此

亦即在

内

解析思题（）如何判定级数的绝对敛性与收敛？

答由级数

n

n

的各项都为非负数故数

n

n

的绝对收敛性可正项级数的定理判定之又于级数

可表示为

n

n

nn

n

，其中

及

均为数项级数故数

的收敛性可依赖数项级数的定理判定。（）判定级数

n

n

收敛的必要条件什？

n

n

绝对收敛的充要件又是什？答如实级数一样，

收敛的必要条件

limn

n

而

绝对收敛的充要件是

a

与

Ima

都是绝对收敛级.

学习帮手

.

......（）为什么说函数能展为级数与函数为解析函数是等价答因在收敛幂级数的和函数是解析同在某点邻域内解析函数在其邻域内必然可以成幂级。.

学习帮手

.

......练八．求下函数在指定点z0（4z

z

0

处的展式解

f(z)

只有一个奇点

z

其敛径为

R

则

14

11i

11i

1

31i

1()

n

n(1i)

n

[z)]

n

，

)

（

sinz,z0解

zsin(sin(zz((zn((z!(2nnn

2或

z)

()

sin(),(sin(n)

sin(1)故

nsin(!2

．将下各函数在指定圆域内展为级。（

z

2

1

,解

2

1

=

z2

z

)

n

z

n

。.

学习帮手

.

nz22dzi......nz22dzi（

z2z(zz

,1解奇为

z2,

，故在

1

中展开为洛朗级z12(z2)(zzz

121)z(1)2=

()2n

n

()z

n．将在z的心邻域内展为级数

解

12i因z

2i

=

(n(z)i)n

n所以

(z

2

()n()ni(z)(()(z2nn

n

。．证明

fz)z)z

以的幂表出的Lanrent展开式中各系数：n

0

cos(2cos

)cosn

n

提示令为位圆

，在上积分变量

i

，则

zcosz

dz

i

。证明

f

在

0z

上解析令

:在

上取z

i

则

zcosz

ie

j

.

C

f12ieidz20e(学习帮手

.

2z......2z

2

20

ooon

i2

0

ooin而

0

sin

cn

0

(n思题（）实变函数中函数展成级和复变量函数中函数展开为级的条件有什么不同？答在变量函数的情形即

f)

的各阶导数都存欲函展开成幂级数也未必可能这因为在实变量函数，函数

f)

展开成Taylor级的条件要求

f)

具有各阶导函数还要求所展成的级的余项趋向于对一个具体的函数来说要明其各阶导数都在，已不容易要证明其级数的余趋近于零就更困难了而复变函数来讲，只函数在

z

0

的邻域内处处解，不仅有一阶导数，且有各阶导实函数的可导性不能保证导数连续，因而不能保证高阶导的存。（）确定

f

的数的收敛半径时应注意什？奇为什么在收圆周上答一地

f(z)

在解析区域D内点

z

0

的级数的收敛半，等于

z

0

到D的界上各点的最短离但

f

在

D

内有奇点时

,0

是

f(z)

的距0最近的一个奇点因此在确定

f)

的Taylor级的收敛半径要确定

f(z)

在

D

内有无奇点并出距

z

0

距离最近的一个。奇点总是落在收圆周上因若在收敛圆内则圆内出现圆外则收敛圆还扩。（）Laurent级与级数有何？

f(z)

的不解析点若.

学习帮手

.

zz3)2zz3)2答级与级的系是当给函数

f)

在点

z

0

处解析时，中心在z

0

，半径等于由

z

0

到函数

f)

的最近奇点的距的那个圆域可以看成圆环域的殊情形。在其中就可作出罗伦级数展开式根据柯西积分定理个展式的所有系数n

都等于零在情形下计算罗伦级数的系数公式级的系数式相同所以罗伦级就转化为级数因，级是罗伦数的特殊情。练九．找出列各函数的所有点并明其阶数z

（

z

解

zz4

i)(i

z

，所

为一阶零点（

z

(ez

解法一令

f(z)

(e

则

f()

z2k

i

fz)

z

zf2)

z

.

学习帮手

.

8zz3)z(4z8zz3)z(4z3zezff

00

f0

2k

(kf

z

e

z

f

0f

(4)

()12e

z

24e

z

z

z

z

(8z

)ez

)2z

zz3e

z

4)e

z

f(4))

0

z

为阶点

k

i(0)

为一阶零点（法二令

f(z)(e

z

2

zz42(11!2!!

z4

z2z2n3!n!z

为阶点zk

i

为阶点（

f(sinz33z6

，问z

是

fz)

的几阶零点解

f(z6(n

n

(z2n)3(2n

93.

学习帮手

.

......6(z

3

z9z3!

)

9

z

36zz5!

21

15

66(5!

6

)

是

f)

的阶点．下列函数有哪些奇？各属何类若是极，指它的阶）(z（

z

解

(zz

sin(z(zzlim

tg(zz

z

为可去奇点

z

zk2

是简单极点（z

z解

z

=

zzz(z令(

，得

zi

，

而

zlim()limlimz0zz(ezz0eze

zlim0

e

z

12

z

为可去奇点当

k

i

时

z

而

(

z

z

z2k

z

z

z2k

0

zk

为一阶极点（

1.

学习帮手

.

sinzcos解与z......sinzcos解与z解

1

()n!zn

n

，

为本性奇点（z

)

，

z

时为1阶。z（z解为奇zz35(zz3!

1z2

(1

z3!5!1(n

n

nnz

为二阶极点（

ze解

z

i

为奇点而

(ezz2(

n

zn

2(

nn!n

)

3

n

nn!z

为三阶极点

2k

i

为简单极点．若

f)()

是以为点的两个不恒为的解析函数则z

f(z)g

lim

fg

或两端均为。.

学习帮手

.

00......00证明：

fz)g(z),

且

f)，