圆与方程（1月）（期末复习热点题型）（人教A版2019）（解析版）

考点07圆与方程

一、单选题

1.已知圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=12,则圆心。的坐标为

A.(—2,3)B.(2,-3)

C.(2,3)D.(-2,-3)

【试题来源】【新东方】杭州新东方高中数学试卷363

【答案】B

［解析】因为(X-a),+(>-份2=r2的圆心为坐标(名刀，

所以(％—2尸+»+3)2=12的圆心为坐标(2,—3),故选B.

2.圆心为(一2,3),半径是3的圆的标准方程为

A.(x-2)2+(y+3)2=9B.(x+2y+(y—3)2=3

C.(x+2p+(y-3『=9D.(x-+(y+3了=3

【试题来源】甘肃省永昌县第一高级中学2020-2021学年高二上学期期中(文)

【答案】C

【解析】•.•圆心为(—2,3),半径是3,•••圆的标准方程为(x+2『+(y—3)2=9.故选C.

3.以点A(-3,4)为圆心，且与>轴相切的圆的标准方程为

A.(x+3y+(y-4)2=16B.(x—3)2+。+4f=16

C.(x+3)2+(y—4尸=9D.(x—3尸+(>+4了=9

【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试(理)

【答案】C

【解析】以点A(-3,4)为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，

故圆的标准方程是(x+3)2+(y—4)2=9.故选C.

4.圆(x+2)2+V=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为

A.f+(y_2)2=5B.(x-2『+丁=5

C.x2+（y+2）2=5D.（x-l）2+y2=5

【试题来源】备战2021年高考数学（文）一轮复习易错题

【答案】B

【分析】根据已知圆与所求圆对称，求出圆心和半径，即可得出圆的方程.

【解析】因为所求圆的圆心与圆（x+2Y+y2=5的圆心（一2,0）关于原点（0,0）对称，

所以所求圆的圆心为（2,0）,半径为有，故所求圆的方程为（x—2）2+丁=5.故选B.

5.圆/+/+4无-2y=0和圆/+/一2%-3=0交于4、B两点，则相交弦A8的垂直

平分线的方程为

A.6x-2y+3=0B,x+3y-l=0

C.2x-2y+3=0D.x-3y-l=0

【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）

【答案】B

【分析】两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心的直线方程，根据两圆的一般方程求得圆心

的坐标，利用直线方程的两点式求得直线的方程.

【解析】由两圆的方程可得两圆的圆心分别为M（-2,l）,N（l,0）,

两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心N的直线方程，

由直线方程的两点式得到直线MN的方程为"=叶2,整理得x+3y-I=0,故选B.

0-11+2

6.设圆M的方程为（x—3p+（y—2）2=2,直线/的方程为x+y-3=0,点尸的坐标为

（2,1）,那么

A.点P在直线/上，但不在圆M上B.点P在圆M上，但不在直线/上

C.点p既在圆A7上，也在直线/上D.点p既不在圆M上，也不在直线/上

【试题来源】河北省承德第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考

【答案】C

【分析】将点坐标代入方程，能使等号成立，即可判断「是否在圆〃、直线/上.

【解析】将P点坐标代入3）2+（y—2>=（2—3>+（1—2）2=2,故P在圆M上，

将P点坐标代入3=2+1-3=（）,故P在直线/匕故选C.

7.圆/+;/+2%-23；=1的圆心和半径分别是

A.(1,-1)；1B.(1,-1)；i/3

C.(Tl)；ID.(-U)；也

【试题来源】天津市第二中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】B

【解析】圆/+V+2》一2y=1的标准方程是(x++(y-=3,

所以圆的圆心和半径分别是(1,一1)；石.故选B.

8.圆+)广—4x+6y+3=0的圆心坐标是

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(2,-3)D.(-2,-3)

【试题来源】北京市新学道临川学校2020-2021学年高二上学期期中考试(理)

【答案】C

/)F

【解析】因为。=-4,石=6,所以一一=2,一一=-3,所以圆心坐标为(2,-3).故选C.

22

9.圆(*+2)2+(丁—3)2=5的圆心和半径分别是

A.(-2,3)-V5B.(2,-3),亚

C.(-2,3)，5D.(2,-3),5

【试题来源】山东省肥城市2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】A

【解析】由圆的标准方程：(x+2)，(y-3)2=5,即圆心为(—2,3),半径为指.故选A

10.已知圆+y~-4y—1=0,则该圆的圆心坐标和半径分别为

A.(0,2),5B.(0,-2),5

C.(0,2),逐D.(0,-2),75

【试题来源】山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期期中

【答案】C

【解析】V+y2—4y—i=0ox2+(y—2)2=5,

所以该圆的圆心是(0,2),半径r=故选C.

II.经过坐标原点，且圆心坐标为(-L1)的圆的一般方程是.

A.x1+y2-2x-2y=0B.炉+—2x+2y=0

C.x~+y~+2.x—2_y=0D.x1+y2+2x+2y=Q

【试题来源】河北省2020年9月普通高中学业水平合格性考试

【答案】C

【分析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其•般方程.

【解析】根据题意，圆的圆心为且过原点，且其半径r=J(—1)2+F=0,

则其标准方程为(x++(y—=2,变形可得其一般方程是x2+y2+2x-2y=0,

故选C.

12.圆/+9一4》+4)，=0的圆心坐标为

A.(-4,4)B.(4,-4)

C.(—2,2)D.(2,—2)

【试题来源】重庆市万州第三中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】D

【分析】根据圆的一般方程中，圆心坐标公式可得结果.

【解析】在圆V+y2—4x+4y=0中，D=-4,E=4，

所以圆/+丫2-©+4>=0的圆心坐标为(2,—2).故选D.

13.以下直线中，将圆/+}?一4%一23；+1=0平分的是

A.x-y-\=0B.x-y+l=0

C.2x-y=0D.2x-y+3=0

【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】A

【分析】由圆方程确定圆心，由题知直线过圆心，代入验证排除即可得正确答案.

【解析】圆/+'2一4%一2丁+1=0的方程可化为（X-2）2+（＞；-1）2=4,

所以圆心坐标为A（2』），若直线平分圆，则A（2,l）必在直线上.

因为2—1—1=0,点A在直线%一丁一1=0匕故A正确；

因为2—1+1#（）,点A不在直线》一丁+1=0上，故B错误；

因为2x2—1x0,点A不在直线2x-y=0上，故C错误；

因为2*2—1+3。0,点4不在直线2工一丁+3=0上，故D错误.故选A.

14.圆X?+）2—4x+6y+9=0的圆心坐标和半径长分别是

A.（-2,3）,2B.（2,-3）,2

C.（-2,3）,4D.（2,-3）,4

【试题来源】四川省乐山市十校2020-2021学年高二上学期期中联考（理）

【答案】B

【分析】将圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标和半径长.

【解析】圆x2+y2—4x+6y+9=0的标准方程为（x-2『+（y+3）2=4

则圆心坐标为（2,-3），半径长2,故选B.

15.已知实数x，y满足x?+y-—4x=0,则无2+y-+2x+8y+17的最大值为

A.3B.7

C.9D.49

【试题来源】四川省乐山市十校2020-2021学年高二上学期期中联考（理）

【答案】D

【解析】x2+y2-4x=0=＞（x-2）2+/=4,所以圆心为（2,0）,半径厂=2.

*2+9+2x+8y+17=（x+lp+（y+4『，表示圆上的点（x,y）到点（T,T）距离的最大

值的平方，圆心（2,0）到点（—1,Y）的距离d=7（2+1）2+（0+4）2=5，

所以圆上的点(x,y)到点(—1,T)距离的最大值为5+2=7,

所以％2+>2+2》+8,+17的最大值为49.故选D.

16.圆心为(-1,2)且过原点的圆的方程是

A.(x-lp+(y-2)2=5B.(x+1)2+(y-2)2=5

C.(x+l)2+(y+2)2=5D.(x-l)2+(y+2)2=5

【试题来源】内蒙古宁城蒙古族中学2020-2021学年第一学期高二联考(理)

【答案】B

【解析】因为圆心为(—1,2)且过原点，所以/■=J(—1J+22=小,

所以圆的方程是(x+iy+(y-2)2=5,故选B.

17.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是

古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数攵

(左>()且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0(0,0),A(3,0),

动点P(尤,y)满足俺=2,则动点P轨迹与圆(X-1)2+>2=1位置关系是

A.外离B.外切

C.相交D.内切

【试题来源】四川省西昌市2020-2021学年高二上学期期中考试(文)

【答案】C

【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判

断圆心距和半径的关系即可得解.

【解析】设P(x,y),由|24|=2归。，得(x—3)2+y2=4x2+4y2,

整理得(x+l『+y2=4,表示圆心为(一1,0),半径为R=2的圆，

圆(x—l)2+y2=i的圆心为(1,0)为圆心，r=1为半径的圆，

两圆的圆心距为2,满足R—r<2<R+r，所以两个圆相交.故选C.

18.当。为任意实数，直线(a—l)x-y+a+l=0恒过定点C,则以C为圆心，石为半

径的圆的方程为

A.(x+l)2+(y+2)2=5B.(x-1)2+(y+2)2=5

C.(x+l)2+(y-2)2=5D.(x-l)2+(y-2)2=5

【试题来源】辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考

【答案】C

【分析】将直线方程变为(x+l)a—x-)+1=0,然后求出。点坐标，然后可得答案.

/、[x+l=0,fx=-1

【解析】直线方程变为(x+l)a—x—y+l=0.由_+]_0得《_2，

所以。(一1,2),所以所求圆的方程为(x+iy+(y—2)2=5.故选C.

19.圆(无一1)2+(>—2)2=2与圆。2：x2+y2+4x+2y-3=o的位置关系是

A.相离B.相交

C.外切D.内切

【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考(理)

【答案】C

【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合圆与圆的位置关系进行判断即可.

【解析】两圆的标准方程为(x—l『+(y-2)2=2,和(X+2『+()，+1)2=8,

对应圆心坐标为。(1,2),半径为拉，和圆心坐标。2(-2,-1),半径为2获，

则圆心距离|0。2|=3及，贝”。。2|=及+20，即两圆外切，故选C.

20.设两圆G、都和两坐标轴相切，且都过点(1,2),则两圆心的距离

A.4B.472

C.8D.872

【试题来源】陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高三上学期11月教学质量检测(理)

【答案】B

【分析】由题设出两圆方程，可得a+Z?=6,ab=5,即可求出圆心距.

【解析】依题意设两圆方程分别为(x—ap+Q—a)2=/,(下勾？+(y_"=/,

5—6a+a~=0

分别将(1,2)代入得<,所以a+6=6,ab=5,

5-6b+/=0

圆心距J2（a—='2［（a+Z?）2—4a4=4&.故选B.

21.已知圆C的方程为/+y?-2x+6y+l=0,点P在圆C上，O是坐标原点，则10Pl

的最小值为

A.3B.V10-3

C.3-V3D.272-2

【试题来源】安徽省宣城六校2020-2021学年高二上学期期中联考（文）

【答案】B

【分析】化简判断圆心和半径，利用圆的性质判断连接线段OC,交圆于点尸时IOPI最小，

再计算求值即得结果.

【解析】化简得圆C的标准方程为（X—I?+（y+3）2=9,故圆心是C。,一3），半径r=3,

则连接线段oc,交圆于点P时1。尸1最小，因为原点到圆心的距离|oq=J13,故此时

|OP|=|OC|-r=>/iO-3.故选B.

22.已知点P（x,y）在圆C:f+（y_i）2=16上，则z=+V一8x-8y+32的最小值

为

A.1B.72

C.乖>D.2

【试题来源】安徽省宣城六校2020-2021学年高二上学期期中联考（文）

【答案】A

【分析】2=4+/_8%_8）'+32=4_4）2+（'_4）2,表示的是点P（xy）到点

（4,4）的距离，然后结合圆的方程可得答案.

【解析】z=Jx2+y2_8x_8y+32=J（x_4）2+（y_4）2,表示的是点P（xy）到点

（4,4）的距离，因为点尸（x,y）在圆C:f+（y_i）2=i6上,

所以z=次+9一口―80+32的最小值为圆心到（4,9的距离减去半径，即

,4?+（4-）—4=,故选A.

23.若点4（。+1,3）在圆C:（x-a）2+（y—1）2=加内部，则实数机的取值范围是

A.（5,+00）B.[5,-HX）

C.（0,5）D.[0,5]

【试题来源】福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期中考试（B）

【答案】A

【分析】把A点坐标代入圆方程，同时把"=''改为“<”，解之可得.

【解析】由题意（1+。一。）2+（3-1）2〈根，解得相>5.故选A.

【名师点睛】本题考查点与圆的位置关系.设点P（Xo，y。），圆C：（XP）2%"）2n.2；

则P在圆C内部O（%-。）2+（%-人）2</，P在圆C上O（x0-4+（%-6）2=/，p

在圆C外部O（玉）-4）2+（%一份2>/.

24.己知圆。的半径为3,且经过点产（5,12）,若点。的坐标为（a,。），则J/+02的最

小值为

A.5B.7

C.9D.10

【试题来源】河南九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测

【答案】D

【分析】先由题意，得到点C（a,。）的轨迹，再由圆的性质，即可求出结果.

【解析】由题意得J（a—5）2+（/?-12『=3,即（a—51+（人一12）2=9,

所以点C（a,。）在以P（5,12）为圆心，3为半径的圆上.

因为1片+/表示点（a,。）到原点的距离，

所以由圆的性质可得扬+后的最小值为俨0|_3=>/52+122-3=10.故选D.

25.若方程/+九+2y=a表示圆，则实数a的取值范围为

A.（—00,-5）B.（—5,+<x>）

C.(-℃,0)D.(0,+a>)

【试题来源】山西省晋中市昔阳县中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】B

【分析】方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆.

【解析】方程化为标准方程为(x—2)2+(y+l)2=a+5,有a+5>0，

所以。>一5.故选B.

26.圆龙2+丫2一2>=0和圆(x-2『+(y-l)2=l的位置关系是

A.相交B.内切

C.外切D.相离

【试题来源】北京市昌平区第一中学2020—2021学年度高二年级上学期期中考试

【答案】C

【分析】分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系

【解析】圆/+>2-2y=0,即/+(y-l)2=l,其圆心4(0,1),半径4=1,

圆(x-2)2+(y-l)2=l的圆心为Q(2,l),半径4=1，

|QQ|=2=4+弓，所以两圆外切，故选C.

27.圆C：f+y2-4x+3=o与圆。2：(x+l)2+(y-4)2=a外切，则实数。的值为

A.4B.16

C.8D.12

【试题来源】安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中(文)

【答案】B

【分析】求出两圆的圆心和半径，根据外切可得圆心距等于半径之和即可求出.

【解析】将圆f+y2-4x+3=0化为标准方程为(x—2y+y2=i,

故圆G的圆心为(2,0)，半径为1;圆C2的圆心为(一1,4),半径为、石，

因为两圆外切，则J(2+l『+(0-4)2=1+0,解得a=16.故选B.

28.已知点A(10),B(l+m,0)(/n>0),若圆C：x2+y2-8%-8y+28=0±4?

在一点P,使得P4LPB，则实数机的取值范围是()

A.m>3B.3<m<7

C.—2<m<lD.4<m<6

【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平''六县（市/区）-中联

考2020-2021学年高二上学期半期考

【答案】B

【分析】根据题意，分析圆C的圆心坐标以及半径，设AB的中点为例，由48的坐标分析

M的坐标以及忸8|的值，可得以为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C与圆M

有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案.

【解析】根据题意，圆G犬+/一8%-8,+28=0,即（》—4）2+（y—4）2=4；

其圆心为（4,4）,半径「=2，设AB的中点为M,又由点A（1-租,0）,3（1+加,。则

M（l,0）,|AB|=2|w|,以AB为直径的圆为（x—I?+y=加2,

若圆C：x2+y2-8x-8y+28=0上存在一点P,使得以，PB,则圆C与圆M有公共点，

乂由|=J（1—4）2+（0—4）2=5,即有同一2W5且同+225,即3«帆W7,

又•.•根>0,二3<机47,故选B.

29.一束光线从点A（2,3）射出，经x轴上一点C反射后到达圆（x+3>+（y—2>=2上一

点B,则|AC|+忸C|的最小值为

A.3亚B.572

C.4A/2D.6夜

【试题来源】山西省晋中市昔阳县中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】C

【分析】做出圆（x+3）2+（y—2）2=2关于工轴的对称圆，进而根据图形得

|AC|+忸C]N|AP|-r即可求解.

【解析】如图，圆。+3）2+⑶-2）2=1的圆心（一3,2）,

其关于x轴的对称圆的圆心为P（-3,-2）,

由图得|4。|+忸。|“4尸|一厂=50-血=40.故选C.

【名师点睛】解题的关键在于求圆关于X轴的对称圆圆心P,进而将问题转化

-r求解.

30.两圆f+y2+2ax+d-4=0和f+y2—4外一1+4/=0恰有三条公切线，若

aeR,bwH且abwO,则一^+记的最小值为

7

A.-B.4

2

C.1D.5

【试题来源】黑龙江省八校2020-2021学年高二摸底考试

【答案】C

11+4/72

【分析】由题意可知两圆外切，可得出/+4〃=9,然后将代数式二十r与巴士匕相

a2b29

乘，展开后利用基本不等式可求得3+1的最小值.

arb~

【解析】圆/+；/+26+/-4=0的标准方程为（x+a『+y2=4,圆心为G（—a,0）,

半径为（=2,圆/+/一4。5;-1+44=0的标准方程为》2+（3；—2/7）2=1,圆心为

G（0,加），半径为5=1•由于圆/+/+2如+。2-4=0和丁+/一4勿-1+4/=。

恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，《。2|=4+&，即J/+4/=3,所以,

11_1L.a24b2}

a2+4/?2=9，所以，R庐中+=1,

当且仅当以2=力2比等号成立，因此,*+*的最小值为「故选C.

二、多选题

1.点P在圆G：x?+y2=1上，点。在圆G：》2+y2-6x+8y+24=0上，则

A.归。|的最小值为0B.|PQ|的最大值为7

4

C.两个圆心所在的直线斜率为-一D,两个圆相交弦所在直线的方程为

3

6x-8y-25=0

【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年第一学期高二期中考试

【答案】BC

【分析】求出圆心坐标，求出圆心距后可判断的最大值和最小值，由圆心距判断两圆

是否相交，再判断D.

2

【解析】由已知G(0,0),半径为r=1,圆C2标准方程为(x-3)+(y+4>=1,。2⑶-4)，

R=l，则|C£|=5,所以=5-1-1=3,A错;

,,-44

P。=5+1+1=7,B止确；kpo=———，C止确；

I『max233

又|。。2|>/?+小两圆相离，不相交，D错.故选BC.

【名师点睛】本题考查两圆的位置关系，判断两圆G，C2的位置关系，一般通过圆心距”与

两圆半径尺r的关系判断.d>R+r=相离，d=R+r。外切，|R—r|<d<R+r=

相交，d=内切，d<|R-r]。内含.

2.已知圆。和直线底-y=0及x轴都相切，且过点(3,0),则该圆的方程是

A.(x—3j+(y-可=3B.(x-B)?+卜+36『=27

C.(x+3)?+(y-可=3D.(x—3y+(y-3厨=27

【试题来源】重庆市万州第三中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】AB

X3-a)2+b2=b2

【解析】由题意设所求圆的方程为(x—。尸+㈠一人尸=〃，则有(|扃_对，

।.日■

I2

Q=3[a=3

解得〈或〈

b=>/3[b=-3V3

所以该圆的方程为(尤―-=3或(x—3)2+(y+36『=27,故选AB.

77

3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线》一），+。=0的距离为手，则实数”的值为

A.2B.-2

C.—D.0

2

【试题来源】重庆市万州第三中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】AD

【分析】求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式列式可解得结果.

【解析】因为圆/+y2-2%—4y=0的圆心为（1,2）,

所以圆心（1,2）到直线x-y+a=Q的距离为上=也,

V1+12

所以。=0或。=2.故选AD.

4.若过点（2,0）有两条直线与圆/+y2—2x+2y+加+1=0相切，则实数，"的可能取值

是

A.-3B.3

C.0D.—

2

【试题来源】重庆市万州区纯阳中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】CD

【分析】由题意得点（2,0）在圆外，列出不等式解出加，再由二元二次方程表示圆时的特征

列出不等式，综合得结果.

［解析】由题意过点（2,0）有两条直线与圆f+丁一2》+2y+机+1=0相切，

则点（2,0）在圆外，即2?-2x2+m+l>0,解得m>—1，

由方程x~+y~—2x+2y+机+1=0表不圆，则（一2）~+2~—4（/”+1）>0,解得加<1,

综上，实数M的取值范围是（-1,1）.

即实数加取值范围是0,故选CD.

【名师点睛】（1）将题意等价转化为点和圆的位置关系：

（2）理解二元二次方程在什么情况下表示圆.

5.己知曲线C:Ax?+8）、+£）x+Ey+/7=0

A.若A=3=1,则C是圆

B.若A=8r0,D2+E2-4AF>0.则C是圆

C.若A=B=0,D2+E2>01则C是直线

D.若A。。，B=0,则C是抛物线

【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试

【答案】BC

【解析】已知曲线C：祗2+的2+。龙+4+/=0.

对于A,当力=8=1时，C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,

若。2+后2-4/>0，则C是圆；

若£）2+£一4尸=0，则C是点卜多g）；

若。2+七2-4/<0，则C不存在.故A错误.

对于B,当A=600时，C:Ax2+Ay2+Dx+Ey+F^0,且。2+£；2一44尸〉0，则

C是圆，故B正确.

对于C,当A=8=0时，C:Dx+Ey+F=O,且+>（）,则c是直线，故C正确.

对于D,当AHO,8=0时，C:Ax2+Dx+Ey+F=Q,

若E=0,则C：井2+5+尸=0表示一元二次方程，

若EHO，则C:Ac2+Dr+Ey+b=0表示抛物线，故D错误.故选BC

【名师点睛】二元二次方程。：-2+8），2+瓜+硝+/=0表示圆的充要条件是

A=BHO，D2+E2-4AF>0-

6.在平面上有相异两点A，B,设点P在同一平面上且满足=（其中九>0,且

2H1）,则点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A（-a,O）,B®0）,a为

正实数，下列说法正确的是

4

A.当X=2时，此阿波罗尼斯圆的半径〃二一。

3

B.当行加以融为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切

C.当0<4<1时，点3在阿波罗尼斯圆圆心的左侧

D.当4>1时，点力在阿波罗尼斯圆外，点3在圆内

【试题来源】湖北省鄂西北五校(宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中)

2020-2021学年高二上学期期中

【答案】AD

22

［解析］设P（x,>），所以尸A=&+4+/,PB=^x_a）+y

因为|必|=川依|,所以PA=J（x+a『+y2=W（x_a）2+y2,

（方+1”］24居2

2Aa4。

A.当X=2时，此阿波罗尼斯圆的半径〃=故正确;

万一1T

B.当义=1时，以AB为直径的圆为f+：/=/,阿波罗尼斯圆为

+/，圆心距为9。，两半径之和为:”，两半径之差的绝对值为!a,

不相切，故错误：

C.当0<4<1时，圆心的横坐标为?”=[l+/[)a<a，所以点3在阿波罗尼

斯圆圆心的右侧，故错误；

242a2/la

D.当；1>1时，点A与圆心的距离=下一>-5—=「，在阿波罗尼斯圆

22-1A2-l

Q1）

2a2Aa

外，点B与圆心的距离<3~；=「，在圆内，故正确；故选AD.

22-122-1

7.已知口43。的三个顶点的坐标分别为A(—2,3)、8(—2,—1)、C(6,-l),以原点为圆

心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为

A.x~+y'=\

c.%2+y=4D.x2+y=37

【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过(新高考地区专用)

【答案】AD

【分析】根据三角形的三点坐标，确定坐标原点到三边的距离，以及到三个顶点的距离，结

合题中条件，即可确定圆的半径，从而可得圆的方程.

【解析】依题意，直线AC的方程为2出=士2,化为一般式方程：x+2y-4=0,

3+1-2-6

乂直线A6的方程为x=-2,直线BC的方程为y=—l,

因此点O到直线AB的距离为2，到直线BC的距离为1,

当以原点为圆心的圆与直线5c相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；

此时圆的半径为1，所以圆的方程为f+y2=i；

又\OA\=7(-2)2+32=V131\OB\=J(—2>+(—1)2=75,\OC\=^62+(-1)2=历，

由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点。(6,-1),

即圆的半径为后，则圆的方程为Y+y2=37.故选AD.

【名师点睛】解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，

或圆过三角形的点这两种情况进行讨论，即可求出结果.

8.“平面内到两个定点A，3的距离之比为定值/l(/l工1)的点的轨迹是圆在平面直角坐

标系xOy中，A(—2,0),8(4,0),点尸满足/=设点P的轨迹为C,下列结论正

产|2

确的是

A.C的方程为(x+4『+y2=]6

B.当A，B,P三点不共线时，射线P。是/4PB的平分线

C.△上/"的面积最大值为12

D.在C上存在点M，使得|MO|=2|M4|

【试题来源】湖北省恩施州利川市第五中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】ABC

I尸从I।

【解析】在平面直角坐标系X。)，中，A(-2,0),8(4,0),点尸满足扁=不

I卜力I乙

设尸(x,y),则=［，化简可得(x+4)2+)2=16,故A正确;

V(x-4)，2：+y'2,2

当4，B,P三点不共线时，由寤=:=震，可得射线PO是/4PB的平分线，故B

|UD|2|rt)|

正确；

因为|AB|=6,而尸在圆(x+4>+y2=i6上，所以P到AB的最大距离为4,所以△?/记

的面积最大值为S=［x6x4=12,故C正确；

2

若在C上存在点M，使得I|=21M41,可设M(x,y),即有次+>=跳皿+4,

化简可得炉+y2+印+与=0,联立/+,2+8》=0,可得方程组无解，故不存在加，

故。错误.故选ABC

【名师点睛】求平面上点的轨迹方程的一般步骤：建系，设点，建立方程，代入坐标化简方

M1

程；根据这一过程可求出满足舄=%的点P的轨迹方程，圆上的动点到直径的距离的最

I”2

大值即为半径，可求出该题中三角形面积的最大.

9.已知点1J,若圆(x—2a+iy+(y—2a—2)2=1上存在点M满足

拓4•丽星3，则实数"的值为

A.-2B.-1

C.2D.0

【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沐阳如东中学2020-2021学

年高三上学期联考

【答案】BD

［分析］设点M(x,y),由平面向量数量积的坐标表示可得M的轨迹方程为x2+y=4,

结合圆与圆的位置关系即可得解.

【解析】设点M(x,y),贝ij祝=(—x—1,—y),砺=(—x+1,—y),

所以正•丽=(_x—l)(-x+l)+y2=3,

所以M的轨迹方程为V+y2=4,圆心为(0,0),半径为2,

由此可知圆(x—2a+l1+(y—2a—2)2=1与/+丁=4有公共点，

又圆(x—2a+lp+(y—2a—2『=1的圆心为(2a-l,2a+2),半径为1,

所以14J(2a—iy+(2a+2)243,解得一lAavg.故选BD.

10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点

A、3的距离之比为定值2(几。1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的

名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X。)，中，A(—2,0)、

pA1

6(4,0),点尸满足——=一，设点P所构成的曲线为C,下列结论正确的是

A.C的方程为(x+4p+y2=i6

B.在C上存在点。，使得。到点(1,1)的距离为3

C.在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|

D.在C上存在点N,使得|NO『+|N4「=4

【试题来源】江苏省两校(徐州一中、兴化中学)2020-2021学年高三上学期笫二次适应性

联考

【答案】ABD

【解析】设点P(x,y),A(-Q)、8(4,0),由以■=」，得.^

化简得/+炉+8X=0,即(x+4)2+v2=16,故A选项正确；

曲线C的方程表示圆心为(-4,0),半径为4的圆，圆心与点(1,1)的距离为

,J(-4-l)2+l=V26.

与圆上的点的距离的最小值为J记-4,最大值为J记+4,而3仁[，记-4,^26+4],故

B正确;

对于C选项，设M(xo,yo),由|MO|=2|MA|,得辰+如=2+2『+,

又(天+4)2+为2=16,联立方程消去yo得刈=2,解得yo无解，故C选项错误；

2222

对于D选项，设N(xo,yo),由|NOF+|M4|2=4,得x0+y0+(+2)+y0=4.

又(%+4)2+%2=16,联立方程消去如得助=0,解得yo=O,故D选项正确.故选ABD.

三、填空题

1.若曲线C:x2+y2-2ax+4ay+5/-16=0上所有的点均在第二象限内，则。的取值

范围是.

【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年第一学期高二期中考试

【答案】(F，-4)

【分析】利用方程求出圆心和半径，结合圆上点的横纵坐标取值范围求出。参数的范围即可.

【解析】曲线C:x2+y2-2ax+4ay+5a2-16=0.即(x—a)~+(y+2a)~=16表示圆，

圆心是(a,-2a),半径为尸=4.故圆上任一点(x,y)满足

a-4<x<a4+,2a4,因为任一点(x,y)在第二象限内，所以a+4<0

且一%/一4>0,解得。<-4.故答案为(F，-4).

2.过三点41,3),5(4,2),C(l,-7)的圆标准方程为.

【试题来源】河北省保定市第二中学2020-2021学年高二上学期第三次月考

【答案】(x—l『+(y+2)2=25

【解析】设圆的方程为丁+丁+公+纱+/=o,因为圆过点A(l,3),3(4,2),C(l,-7),

10+d+3e+f=0w=一2

所以，20+4d+2e+/=0,解得<e=4,所以圆的方程为V+y2-2x+4y—20=0,

50+d-7e+/=0=-20

所以圆标准方程为(%一1)2+(^+2)2=25，故答案为(％-1)2+(}/+2)2=25.

3.已知点A(3,0),8(0,4),点尸在圆/+y2=i上运动，则|/%『+上02的最小值为

【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】17

【解析】设尸(羽》),则|PAF+|pB|2=(x-3)2+y2+x2+(y—4)2

/3V25

=2x%——I+(y-2)~——+25,

2

若求(|PA『+\PB\)mn，即求p(x,y)与(1,2卜疆的平方的最小值，

…=，|.oj+(2-O)2-l=(|一1)《

所以（|PAF+|P8F）““n=2x［；-彳］+25=17.故答案为17.

4.己知圆心C在直线x+2yT=0上，且该圆经过（3,0）和（1,一2）两点，则圆C的标准方

程为.

【试题来源】山西省晋中市昔阳县中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】（X-1）2+丁=4

【分析】设出圆的标准方程，利用圆心C在直线x+2y-l=0上，且该圆经过（3,0）和

（1,一2）两点，列方程组求解即可.

【解析】设圆C的标准方程为3-“>+（y-6）2=，,

因为心C在直线x+2y-l=0上，且该圆经过（3,0）和（1,—2）两点，

。+2。-1=0a=1

所以《（3—a>+（0—力2=/,解得/=（）,

（1-6Z）2+（-2-Z?）2=r2［r=2

所以圆C的标准方程为（x—+V=4.故答案为（％—1尸+V=4.

【名师点睛】求圆的方程常见思路与方法有：①直接设出动点坐标（x,y）,根据题意列出

关于x，N的方程即可;②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程:③待定系数法，

可以根据题意设出圆的标