解决问题中数量关系模型教学的有效策略

解决问题中数量关系模型教学的有效策略解决问题中数量关系模型教学的有效策略

【中图分类号】G【文献标识码】B【文章编号】1008-1216〔2022〕07B-0047-02

在小学六年级分数乘法教学时，笔者整理了这样一组题：

题①买5支水笔需要10元，照这样计算，买3支水笔要多少元？

题②一本书有45页，已经看了3/5。已经看了多少页？

题③整个长方形表示15，阴影局部表示多少？

题④草莓的单价是25元，是香蕉的5倍。柠檬的单价是香蕉的3倍，柠檬单价多少元？

仔细阅读分析之后，我们不难得到这组题的解答分别是：10÷5×3，45÷5×3，15÷5×3，25÷5×3。这里有整数的解决问题、分数的解决问题甚至还有图形题，为什么四个不同的问题都是几除以5乘3？其实，这组题我们都可以用下列图来解释，都是先求1份再求3份。其实这就是模型化的思想。

解决问题教学的关键是训练学生解题的策略，其特点是用学生丰盛的生活经验，帮忙学生理解解决问题的办法，从而提高教学效益。

课改前在小学数学应用题教学时，我们就很重视分析题目中的数量关系。随着课改的实施，不少一线教师逐步把数量关系教学弱化甚至边缘化，而学生解决实际问题往往是在生活经验或者直觉的支持下进行的。因此，学生对解决问题的过程不足有意识的体验，不利于学生形成解题的策略。随着课改的不断深入，笔者认为应从学生已有的知识出发，引导学生利用生活经验理解问题，将分析数量关系作为解决问题策略的关键。

2022年版?义务教育数学课程规范》明确指出：“了解分析和解决问题的一些根本办法〞；“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题〞。成功吸取课改前传统应用题教学的成功做法。像“总价=单价×数量〞“路程=速度×时间〞这种针对数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括性地表述出来的数学结构化语言〔公式〕，就是数学模型化。

一、加强运算意义教学，建立根本模型

小学阶段数学的解决问题波及知识，大都可以归结为四那么运算模型〔含图形与几何方面的主要问题〕。因此，笔者认为在教学过程中，应该加强运算意义的教学，以理解运算意义为根底，让学生进行初步体验和归纳，把运算与数学问题进行沟通，建立最根本的数量关系模型，提高学生分析数量关系的能力。

比方，在一年级学生认识加法运算的意义时，教师可以帮忙学生结合具体的情境理解加法意义：根据已知两个不同的局部数，要求总数是多少，就是把这两个局部数合在一起的运算，这种运算叫做加法运算。如一年级下册有这样一道题目：一件上衣50元、一条裙子40元、一条裤子30元，〔1〕买一件上衣和一条裤子多少钱？〔2〕付给售货员100元，应找回多少钱？〔3〕你还能提出什么数学问题？教师可以在学生仔细读题之后帮忙学生这样理解数量关系：衣服的价格+裤子的价格=总价；在具体情境中屡次体验、感悟“数学模型〞典型实例的根底上，理解、建立它们之间的数量关系模型就是“局部数+局部数=总数〞。

在教学认识减法运算的意义时，教师可以帮忙学生结合具体的情境理解减法意义，如有这样一道题目：有35本故事书借出2本，有35本动漫书借出20本。〔1〕还剩多少本故事书？〔2〕还剩多少本动漫书？教师可以引导学生理解这样的数量关系：“总共的故事书-借出的故事书=剩下的故事书〞和“总共的动漫书-借出的动漫书=剩下的动漫书〞。其实这个题目的数量关系模型就是“总数-分数=另一局部数〞。

在对两个数量进行大小比拟时，教师可以让学生借助具体情境，可以用减法运算比出它们的大小，也就是从较大数中去掉与较小数同样多的局部，余下的局部既是较大数比拟小数多的局部，又是较小数比拟大数少的局部，也是较大数与较小数相差的局部，数量关系模型就是“大数-小数=相差数〞。

当然在教学乘、除法时也一样要注重运算意义的教学。总之在解决实际问题时，要把解决问题与数学意义紧密联系在一起，潜移默化地渗透数量关系，建立根本的数学模型，为提高学生解决问题的能力奠定根底。

二、结合情境教学，建立常见模型

加强数量关系分析的指导，在用数学办法解决问题的过程中，注重常见数量关系的抽象概括与应用，以数量关系的有效构建提升学生分析问题和解决问题的能力。

比方，有这样一道题目：有两个人在相距72千米的两个地点同时相向而行，第一个人的速度是4km/h，另一个人的速度是8km/h，有一只狗原来与第一个人在一起，与两个人同时出发，向第二个人的方向跑去，当他追上这个人时，立刻向相反方向跑，去追另一个人，这样重复下去，不停地在两人之间运动，直到两人相遇为止。如果狗的速度是6km/h，问这只狗跑的距离。

此题出现在小学高年级，但事实上这题难倒了不少初高中的学生，一些大人也束手无策！究其原因，学生们在不断细究狗每一次的动作，想算出每一次跑的路程再相加觉得很难。这时，从整体上分析问题、思考问题就轻而易举：根据路程、时间、速度三者的关系s=vt，要求狗跑的路程，其实只要知道狗的速度和时间。速度已经有了，只要知道狗跑的时间就可以了。两个人同时用的时间与狗跑的时间相等！人所用时间：72÷〔8+4〕=6小时，狗跑的距离即6×6=36千米！多么发人深省的思想啊！我们就应该给学生更多的时机，让他们从整体上思考、分析问题，看的不同了，境界也就不一样了！

其实在教学中，我们在抽象出数量关系模型后，还应让学生学会变式运用，做到举一反三，如根据“速度×时间=路程〞，变化出“路程÷时间=速度，路程÷速度=时间〞；根据“单价×数量=总价〞演绎出“总价÷数量=单价、总价÷单价=数量〞等。这些根本关系式具有高度的概括性和广泛的应用性，我们可以用概括的语言和符号表示出来，建立数学模型，有助于培养学生抽象、概括的思维能力，感受数学抽象的美。当然数学模型建立后，教师应引导学生将建立的数学模型迁移到他们不熟悉的情境中，作为实现解决问题的办法和措施。

三、依据根本关系，以模型化繁为简

小学阶段的数量关系教学，既有简单的根本数量关系教学，也有复杂的复合数量关系教学。复合数量关系教学是小学中高年级的重要内容，也是整个小学阶段数量关系教学的重难点与核心。因此，学生在掌握根本数量关系模型的根底上，必须了解和学会建构复合的数量关系模型，以模型化繁为简。

比方，新教材六年级上册分数除法单元新增这样的题目：一套运动服共300元，裤子价钱是上衣的。上衣和裤子的钱分别是多少？数量关系是上衣的价格+裤子的价格=总价。但是仔细读题我们还会发现：裤子的价格=上衣的价格×。让学生对两个数量关系进行分析，发现上衣价格是3份，裤子价格是2份，则整套衣服的价格就是5份。先求1份再求上衣和裤子的价格就可以了。

这样，这个题目的解决回到了本文一开始的题组，先求1份再求几份的问题。只能让学生在分析、解题与编题的过程中，明白简单数量关系如何转化为复杂的数量关系，从而提升学生思考与解决问题的能力。

我们在解决问题教学时，应该引领学生把书本知识与现实生活紧密联系，把问题从具象到抽象概括，把解决问题从经验式逐步提升到用数学办法解决问题。无论用等式、符号、