材料力学课件 第4章扭转变形

圆轴扭转时的强度与刚度计算§概述§外加扭力矩、扭矩与扭矩图§剪应力互等定律与剪切胡克定律§圆轴在扭转时的剪应力分析与强度分析§圆轴在扭转时的变形·及刚度条件§结论与讨论扭转扭转§概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转变形：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转扭转角（）：

任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA扭转工程实例工程中承受扭转的圆轴传动轴将产生扭转传动轴工程中承受扭转的圆轴连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转工程中承受扭转的圆轴

请判断哪一杆件将发生扭转当两只手用力相等时，拧紧罗母的工具杆将产生扭转工程中承受扭转的圆轴

请判断轴受哪些力将发生扭转变形作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：

其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如果功率P单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则§外加扭力矩、扭矩与扭矩图外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。

nMeMeMxMeMx+外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。

MeMeMeMx_nMx如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在轴上的外力偶矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagramoftorsionmoment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。扭矩图扭转

扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|Mx

|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xMx扭转[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。ABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩扭转ABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）扭转③绘制扭矩图BC段为危险截面。xABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––例题圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试：画出圆轴的扭矩图。

解：1．确定控制面

外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。

2．应用截面法由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩

。

3．建立Mx－x坐标系，画出扭矩图建立Mx－x坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。

考察承受剪应力作用的微元体，假设作用在微元左、右面上的剪应力为，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力ˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡这两个力偶的力偶矩必须大小相等、方向相反。§剪应力互等订定理剪切胡克定理xyzdxdydz微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎样才能平衡？xyzdxdydz怎样才能平衡？根据力偶平衡理论xyzdxdydz剪应力成对定理在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairingprincipleofshearstresses）。O剪切胡克定律当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变之间存在成正比:这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数G称为材料的切变模量。式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。§圆轴扭转时横截面上剪应力分析和强度计算

应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程确定横截面上剪应力的方法与过程平面假定变形协调方程物性关系－剪切胡克定律

静力学方程圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式确定横截面上剪应力的方法与过程扭转1.横截面变形后仍为平面；平面假设2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。等直圆杆扭转实验观察：平面假设扭转变形协调关系1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系：

扭转Ttmaxtmax物性关系：虎克定律：代入上式得：扭转静力学方程：TOdA令代入物理关系式得：扭转—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。扭转单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO扭转对于空心圆截面：dDOd扭转④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。扭转确定最大剪应力：由知：当Wp—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：扭转等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。(应力状态理论研究）扭转四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：扭转[例]功率为150kW，转速为924转/分的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3例题P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：计算各轴的功率与转速Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m3解：计算各轴的扭矩3解：计算各轴的横截面上的最大切应力由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1＝2G2。圆轴尺寸如图中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的剪应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。

例题

解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。例题

解：因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1＝2G2），所以内层在二者交界处的剪应力一定大于外层在二者交界处的剪应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。例题

解：在答案（D）中，外层在二者交界处的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，剪应力也不可能等于零。例题根据以上分析，正确答案是（C）。扭转§圆轴在扭转时的变形与刚度条件一、扭转时的变形由公式长为

l一段杆两截面间相对扭转角

为或扭转单位扭转角：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[]称为许用单位扭转角。扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。[例4]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马力，输出功率分别P2=200马力及P3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？扭转解：①图示状态下,扭矩如图，

500400P1P3P2ACBTx–7.024–4.21(kNm)扭转由刚度条件得：500400P1P3P2ACBTx–7.024–4.21(kNm)扭转

综上：②全轴选同一直径时扭转

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814§结论与讨论圆轴强度与刚度设计的一般过程关于公式的应用条件开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力圆轴强度与刚度设计的一般过程根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角。根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。关于公式的应用条件扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：1、必须是圆轴－否则横截面将不再保持平面，变形协调公式（如下）将不再成立2、材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载－只有这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立O2RB

CsR/2A1.