-新教材高中数学课时练习12变化率问题导数的概念含解析新人教A版选择性必修

PAGEPAGE6变化率问题、导数的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．函数y＝f(x)＝2x2－1在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4Δx【解析】选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋2Δx.2．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81【解析】选B.因为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3（3＋Δt）2－3×32,Δt)＝eq\f(18Δt＋3（Δt）2,Δt)＝18＋3Δt，所以＝18.3．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A．3B．2C．1D．4【解析】选B.由已知得eq\f(m2－1－（12－1）,m－1)＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2.4．若y＝f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1 B．－1C．±1 D．3eq\r(3)【解析】选C.因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，所以eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3x0Δx＋(Δx)2，所以f′(x0)＝[3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))，由f′(x0)＝3，得3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝3，所以x0＝±1.5．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1【解析】选A.由题意，知k＝f′(0)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(（Δx＋0）2＋a（0＋Δx）＋b－b,Δx)＝1，所以a＝1.又(0，b)在切线上，所以b＝1.6．(多选题)若f(x)在x＝x0处存在导数，则eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)()A．与x0，h都有关B．仅与x0有关C．与h无关D．仅与h有关，而与x0无关【解析】选BC.由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．二、填空题(每小题5分，共10分)7．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.【解析】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(7（t0＋Δt）2＋8－（7teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋8）,Δt)＝7Δt＋14t0，当(7Δt＋14t0)＝1时，t0＝eq\f(1,14).答案：eq\f(1,14)8．如图是函数y＝f(x)的图象，则(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为____；(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为____．【解析】(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为eq\f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1<x≤3.))所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为eq\f(f（2）－f（0）,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).答案：(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(3,4)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2处的导数．【解析】因为Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－(22＋eq\f(1,2)＋5)＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,2（2＋Δx）)，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以y′|x＝2＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).10．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．【解析】因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1得Δx≥－2，又因为Δx>0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是()A．甲B．乙C．相同D．不确定【解析】选B.在t0处，W1(t0)＝W2(t0)，但W1(t0－Δt)<W2(t0－Δt)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W1（t0）－W1（t0－Δt）,Δt)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W2（t0）－W2（t0－Δt）,Δt)))，所以，在相同的时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，即乙厂的治污效果较好．2．函数y＝f(x)＝x2在x0到x0＋Δx(Δx＞0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1>k2B．k1<k2C．k1＝k2D．不确定【解析】选A.k1＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),Δx)＝2x0＋Δx；k2＝eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－（x0－Δx）2,Δx)＝2x0－Δx.所以k1＞k2.3．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()A．(1，10)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1，10)【解析】选B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）＋1－（3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋6x0＋1）,Δx)＝3Δx＋6x0＋6，所以f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝(3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，所以x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y0＝－2.所以P点坐标为(－1，－2).二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知函数y＝f(x)＝A(A为常数)，则f′(2)＝________.【解析】因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝A－A＝0，所以eq\f(Δy,Δx)＝0，f′(2)＝eq\f(Δy,Δx)＝0＝0.答案：05．已知函数y＝f(x)＝ax2＋c且f′(1)＝2，则a＝________.【解析】f′(1)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(a（1＋Δx）2＋c－a－c,Δx)＝eq\f(2a·Δx＋a（Δx）2,Δx)＝(2a＋a·Δx)＝2a＝2.所以a＝1.答案：16．函数f(x)＝eq\r(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________．【解析】由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)，而eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，又eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，所以f′(1)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题(每小题10分，共30分)7．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为eq\f(28π,3)，求m的值．【解析】因为ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)(m3－1)，所以eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)（m3－1）,m－1)＝eq\f(28π,3)，即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去).8．路灯距地面8m，一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式.(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．【解析】(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym.由于CD∥BE，则eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，所以y＝eq\f(1,4)x.(2)设人离开路灯的时间为t，因为84m/min＝1.4m/s，而x＝1.4t.所以y＝eq\f(1,4)x＝eq\f(1,4)×1.4t＝eq\f(7,20)t，t∈[0，＋∞).Δy＝eq\f(7,20)(10＋Δt)－eq\f(7,20)×10＝eq\f(7,20)Δt，所以eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(7,20).即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为eq\f(7,20).9．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t＋1，求速度为零的时刻．【解析】因为Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝eq\f(1,3)(t＋Δt)3－eq\f(3,2)(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋1－