-新教材高中数学课时练习4等差数列的性质及应用含解析新人教A版选择性必修

PAGEPAGE7等差数列的性质及应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6【解析】选B.由等差数列的性质得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.2．等差数列{an}中a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝()A．35B．38C．45D．48【解析】选B.由等差数列的性质知a3＋a5＝a2＋a6＝38.3．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝()A．3B．－6C．4D．－3【解析】选B.由等差数列的性质，得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝eq\f(－20－10,5)＝－6.4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37【解析】选C.因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也是等差数列．又因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，所以an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.5．我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完．则该女子第11天织布()A．eq\f(11,3)尺B．eq\f(105,29)尺C．eq\f(65,29)尺D．eq\f(7,3)尺【解析】选B.设女子每天的织布数构成的数列为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，由题设可知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等差数列，且a1＝5，a30＝1，故公差d＝eq\f(1－5,30－1)＝－eq\f(4,29)，故a11＝a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,29)))＝5－eq\f(40,29)＝eq\f(105,29).6．(多选题)若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数可能为()A．0B．1C．2D．3【解析】选BC.因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.二、填空题(每小题5分，共10分)7．已知各项都为正数的等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a5＝3，则a3a7的最大值为________.【解析】依题意，等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))各项都为正数，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3＋a7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5))eq\s\up12(2)＝9.当且仅当a3＝a7＝3时等号成立．答案：98．在等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a2＋a8＝10.则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a6))2－2a5＝__________．【解析】因为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等差数列，a2＋a8＝a4＋a6＝2a5＝10，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a6))2－2a5＝102－10＝90.答案：90三、解答题(每小题10分，共20分)9．两个等差数列{an}：5，8，11，…和{bn}：3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少个相同的项？【解析】方法一：设已知两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，又数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2，数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1，所以数列{cn}为等差数列，且d＝12，所以cn＝12n－1.又因为a100＝302，b100＝399，所以cn＝12n－1≤302，所以n≤25eq\f(1,4)，所以已知两数列共有25个相同的项．方法二：因为an＝3n＋2，bn＝4n－1，设an＝bm，则有3n＋2＝4m－1(n，m∈N*)即n＝eq\f(4,3)m－1(n，m∈N*).要使n为正整数，m必须是3的倍数．设m＝3k(k∈N*)，代入n＝eq\f(4,3)m－1，得n＝4k－1.又因为1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，所以1≤k≤25，所以共有25个相同的项．10．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.【解析】方法一：由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.所以(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10).所以a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.方法二：因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30，80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列，所以30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，a11＋a12＋…＋a15＝130.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)【解析】选C.因为an＋1－an＝3，所以{an}为等差数列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，所以a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，所以log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.2．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26B．29C．39D．52【解析】选C.因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．所以5＋21＝x＋z＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.3．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B．eq\f(67,66)升C．eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升【解析】选B.设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))所以a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，即第5节的容积为eq\f(67,66)升．4．(多选题)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12>31，则公差d的取值可以为()A．3B．4C．5D．6【解析】选BCD.设首项为a1，由题意，可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d>31，))解得d>3.所以d的取值范围是(3，＋∞).二、填空题(每小题5分，共20分)5．已知△ABC中三边a，b，c成等差数列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差数列，则△ABC的形状为________．【解析】由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，①,\r(a)＋\r(c)＝2\r(b)，②))②2－①，得2eq\r(ac)＝2b.所以b2＝ac，又(a＋c)2＝4b2，即(a＋c)2＝4ac，所以a2－2ac＋c2＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，代入①，可得a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．答案：等边三角形6．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝____；a1＋a2＋…＋a7＝____．【解析】由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4,a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.答案：4287．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．【解析】在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a＝a1＋a2＋…＋a10＝20.答案：208．已知(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的4个根组成首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝________．【解析】因为y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴，设四个根分别为x1，x2，x3，x4，不妨设x1，x4为x2－2x＋m＝0的两根，x2，x3为x2－2x＋n＝0的两根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x4＝2，,x1x4＝m.))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x3＝2，,x2x3＝n.))不妨令x1＝eq\f(1,4)，所以x4＝eq\f(7,4)，x2＝eq\f(3,4)，x3＝eq\f(5,4)，所以m＝eq\f(7,16)，n＝eq\f(15,16)，所以|m－n|＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题(每小题10分，共30分)9．设数列{an}是等差数列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(an)，且b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求通项公式an.【解析】因为b1b2b3＝eq\f(1,8)，又bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(an)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a3)＝eq\f(1,8)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a1)＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，所以a1＋a2＋a3＝3.又{an}成等差数列，所以a2＝1，a1＋a3＝2.所以b1b3＝eq\f(1,4)，b1＋b3＝eq\f(17,8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝2，,b3＝\f(1,8)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝\f(1,8)，,b3＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,a3＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,a3＝－1.))设等差数列{an}的公差为d，当a1＝－1，a3＝3时，d＝2，所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；当a1＝3，a3＝－1时，d＝－2，所以an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.综上所述，an＝2n－3(n∈N*)或an＝－2n＋5(n∈N*).10．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通项公式；(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？【解析】数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．(1)因为a1＝3，d＝－5，所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通项公式为bn＝13－20n(n∈N*).(3)b503＝13－20×503＝－10047，设它是{an}中的第m项，则－10047＝8－5m，解得m＝2011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2011项．11．已知正项数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝(2n－1)an＋