-新教材高中数学课时检测20奇偶性的概念含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE4奇偶性的概念[A级基础巩固]1．函数f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象()A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于原点对称D．关于直线y＝－x对称解析：选C∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq\f(1,x)－(－x)＝x－eq\f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．2．(多选)下列函数是偶函数的有()A．y＝x2＋1 B．y＝2x＋eq\f(1,2x)C．y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x) D．y＝|x|＋1解析：选ABD选项C，定义域为{1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，其他函数都满足偶函数的要求，故选A、B、D.3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)解析：选B∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.4．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有()A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－7解析：选BC根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数解析：选A因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．6．若函数y＝(x－1)(x＋a)为偶函数，则a＝________．解析：∵函数y＝(x－1)(x＋a)＝x2＋(a－1)x－a为偶函数，∴x2－(a－1)x－a＝x2＋(a－1)x－a恒成立，∴a－1＝0，∴a＝1.答案：17．(2021·北京通州高一月考)能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．解析：举出x＝0不在定义域内的奇函数即可，如f(x)＝eq\f(1,x).答案：eq\f(1,x)(答案不唯一)8．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．解析：由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)∪(0，3)．答案：(－6，－3)∪(0，3)9．已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)．(1)若f(1)＝3，求a的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．解：(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3，所以a＝2>0满足题意．(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．又因为f(－x)＝－x＋eq\f(a,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．[B级综合运用]11．(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是()A．f(x)＋f(－x)＝0 B．f(x)－f(－x)＝2f(x)C．f(x)·f(－x)<0 D．eq\f(f（x）,f（－x）)＝－1解析：选AB∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确；f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确；当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确；当x＝0时，eq\f(f（x）,f（－x）)的分母为0，无意义，故D不正确．12．已知函数f(x)＝mx2＋nx＋2m＋n是偶函数，其定义域为[m＋1，－2n＋2]，则()A．m＝0，n＝0 B．m＝－3，n＝0C．m＝1，n＝0 D．m＝3，n＝0解析：选B由f(x)＝mx2＋nx＋2m＋n是偶函数，得n＝0.又函数的定义域为[m＋1，－2n＋2]，所以m＋1＝2n－2，则m＝－3.13．函数f(x)＝eq\f(\r(4－x2),2－|x＋2|)的定义域为______，是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,2－|x＋2|≠0，))解得－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]．∵f(x)＝eq\f(\r(4－x2),2－|x＋2|)＝eq\f(\r(4－x2),－x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)，定义域关于原点对称，又∵f(－x)＝eq\f(\r(4－x2),x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．答案：[－2，0)∪(0，2]奇14．函数f(x)＝eq\f(ax－b,4－x2)是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝eq\f(1,3).(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性．解：(1)根据题意，得函数f(x)＝eq\f(ax－b,4－x2)是定义在(－2，2)上的奇函数，则f(0)＝eq\f(－b,4)＝0，解得b＝0.又由f(1)＝eq\f(1,3)，得f(1)＝eq\f(a,3)＝eq\f(1,3)，解得a＝1.所以f(x)＝eq\f(x,4－x2).(2)f(x)在区间(－2，2)上为增函数．证明如下：设－2<x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(（4＋x1x2）（x1－x2）,（4－xeq\o\al(2,1)）（4－xeq\o\al(2,2)）).由－2<x1<x2<2，得4＋x1x2>0，x1－x2<0，4－xeq\o\al(2,1)>0，4－xeq\o\al(2,2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以函数f(x)在(－2，2)上为增函数．[C级拓展探究]15．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f(x)是偶函数，求a的值；(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．解：(1)我同意王鹏同学的观点．理由如下：假设f(x)是奇函数，则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，可得f(a)＋f(－a)＝0，即a2