-新教材高中数学课时检测3空间向量基本定理含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE6课时跟踪检测（三）空间向量基本定理[A级基础巩固]1．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))满足eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb解析：选CA中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))共线，故eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))正确；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→)) D．|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))|解析：选C对于空间中的任意向量，都有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，选项A错误；若eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，而eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，据此可知eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，即B，C两点重合，选项B错误；eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))，则A，B，C三点共线，选项C正确；|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．3．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up7(→))，eq\o(AO2,\s\up7(→))，eq\o(AO3,\s\up7(→))}为基底，eq\o(AC,\s\up7(→))′＝xeq\o(eq\o(AO1,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋yeq\o(AO2,\s\up7(→))＋zeq\o(AO3,\s\up7(→))，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2解析：选Aeq\o(AC,\s\up7(→))′＝eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))′＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))′＝eq\o(eq\o(AO1,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(AO3,\s\up7(→))＋eq\o(AO2,\s\up7(→))，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.4．在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则eq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,4)解析：选Deq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)－1))＝－eq\f(1,4).5．(多选)下列命题中是假命题的为()A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面B．若p与a，b共面，则p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，则P，M，A，B四点共面D．若P，M，A，B四点共面，则eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))解析：选BD由平面向量基本定理得p与a，b共面，A是真命题；若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，则eq\o(MP,\s\up7(→))，eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；若M，A，B共线，点P不在此直线上，则eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))不成立，D是假命题；故选B、D.6．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．解析：若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.答案：x＝y＝z＝07．已知空间的一组基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝2λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))答案：2－28．如图在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，则eq\o(B1M,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)解析：eq\o(B1M,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.答案：－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c9．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up7(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解：(1)如图，eq\o(D1B,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a－c).(2)eq\o(D1F,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.10．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面．(1)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))；(2)eq\o(OP,\s\up7(→))＝4eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))．解：法一：(1)原式可变形为eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→)))＋(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→)))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))．由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面．(2)原式可变形为eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＋(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→)))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(MA,\s\up7(→))．由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(BA,\s\up7(→))＋yeq\o(MA,\s\up7(→))．而eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(MA,\s\up7(→))，∴点P与点A，B，M不共面．法二：(1)原式可变形为eq\o(OB,\s\up7(→))＝3eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))．∵3＋(－1)＋(－1)＝1，∴点B与点P，A，M共面，即点P与点A，B，M共面．(2)由eq\o(OP,\s\up7(→))＝4eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))，得4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，∴点P与点A，B，M不共面．[B级综合运用]11．(多选)(2021·夏津第一中学高二月考)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且eq\o(MG,\s\up7(→))＝2eq\o(GN,\s\up7(→))，现用基底{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}表示向量eq\o(OG,\s\up7(→))，有eq\o(OG,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，则()A．x＝eq\f(1,6) B．y＝eq\f(1,3)C．z＝eq\f(1,3) D．x＋y＋z＝1解析：选ABC如图所示，∵N为BC的中点，则eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，∵M为OA的中点，则eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，∵eq\o(MG,\s\up7(→))＝2eq\o(GN,\s\up7(→))，则eq\o(MG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up7(→))，∴eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(MG,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)OC，∴x＝eq\f(1,6)，y＝z＝eq\f(1,3)，则x＋y＋z＝eq\f(5,6).故选A、B、C.12．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up7(→))＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则eq\o(EF,\s\up7(→))＝________．向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))________(填“能”或“否”)构成一组基底．解析：eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＝3a－eq\f(5,2)b＋3c.假设eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))共面，则eq\o(EF,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(CD,\s\up7(→))＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－eq\f(5,2)b＋3c.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋5μ＝3，,－5μ＝－\f(5,2)，,8μ－2λ＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2)．))∴eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共面，∴不能构成一组基底．答案：3a－eq\f(5,2)b＋3c否13．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________．解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))故有α＋β＋γ＝3.答案：314．如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OC,\s\up7(→))＝b，eq\o(OP,\s\up7(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))．解：如图，连接BO，则eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(BO→＋eq\o(OP,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up7(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\