-新教材高中数学第一章预备知识3.2第2课时基本不等式的应用学案北师大版必修第一册

PAGEPAGE7第2课时基本不等式的应用某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？[问题]实例中问题的实质是什么？如何求解？知识点基本不等式与最值当x，y均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值eq\a\vs4\al(\f(s2,4))；(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2eq\r(p)．eq\a\vs4\al()利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：(1)一正：各项必须为正；(2)二定：各项之和或各项之积为定值；(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．1．已知x＞0，则eq\f(9,x)＋x的最小值为()A．6 B．5C．4 D．3解析：选A∵x＞0，∴eq\f(9,x)＋x≥2eq\r(x·\f(9,x))＝6，当且仅当x＝eq\f(9,x)，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值6.2．已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（1－x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时“＝”成立，即当x＝eq\f(1,2)时，x(1－x)取得最大值eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)eq\f(1,2)利用基本不等式求最值[例1](链接教科书第30页练习1题)(1)已知x＜eq\f(5,4)，求y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；(2)已知0＜x＜eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值；(3)当x＞0时，求函数y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值．[解](1)∵x＜eq\f(5,4)，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(2)∵0＜x＜eq\f(1,2)，∴1－2x＞0，∴y＝eq\f(1,4)×2x(1－2x)≤eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，∴当且仅当2x＝1－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，即x＝eq\f(1,4)时，ymax＝eq\f(1,16).(3)因为x＞0，所以eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．故函数y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值为1.eq\a\vs4\al()利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．(1)拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；(2)并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；(3)配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．[跟踪训练]1．3x2＋eq\f(6,x2＋1)的最小值是()A．3eq\r(2)－3 B．3C．6eq\r(2) D．6eq\r(2)－3解析：选D3x2＋eq\f(6,x2＋1)＝3(x2＋1)＋eq\f(6,x2＋1)－3≥2eq\r(3（x2＋1）·\f(6,x2＋1))－3＝2eq\r(18)－3＝6eq\r(2)－3，当且仅当x2＝eq\r(2)－1时等号成立，故选D.2．已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋eq\f(1,\r(ab))的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5解析：选C∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(4ab)＋eq\f(1,\r(ab))＝4eq\r(ab)＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(4\r(ab)·\f(1,\r(ab)))＝4，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝b，,4\r(ab)＝\f(1,\r(ab))，))即a＝eq\f(1,4)，b＝1时，等号成立，此时4a＋b＋eq\f(1,\r(ab))取得最小值4.利用基本不等式求条件最值[例2](链接教科书第30页习题A组7题)已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16.[母题探究]1．(变条件)本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．解：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(（2x－16）＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(（x－8）×\f(16,x－8))＋10＝18.当且仅当x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立，∴x＋y的最小值是18.2．(变条件，变设问)本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)的最小值．解：由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥10＋2eq\r(9)＝16，当且仅当9x2＝y2即y＝3x，得x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)时，取“＝”，∴eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)的最小值为16.eq\a\vs4\al()1．常值代换法求最值的方法步骤常值代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值．[跟踪训练]1．已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)的最小值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选Cp＝x＋eq\f(x＋y,x)＋y＋eq\f(x＋y,y)＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时等号成立．2．若a＞0，且a＋b＝0，则a－eq\f(1,b)＋1的最小值为________．解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－eq\f(1,b)＝eq\f(1,a)＞0，所以a－eq\f(1,b)＋1＝a＋eq\f(1,a)＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．答案：3基本不等式在实际中的应用[例3](链接教科书第29页例5)某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)．(1)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x＞1)，求公园ABCD所占面积y(单位：m2)关于x的表达式；(2)要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？[解](1)设休闲区的宽为am，则其长为axm，由a2x＝4000，得a＝eq\f(20\r(10),\r(x)).所以y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·eq\f(20\r(10),\r(x))＋160＝80eq\r(10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(5,\r(x))))＋4160(x＞1)．(2)y≥80eq\r(10)×2eq\r(2\r(x)×\f(5,\r(x)))＋4160＝1600＋4160＝5760，当且仅当2eq\r(x)＝eq\f(5,\r(x))，即x＝eq\f(5,2)时取等号，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100m，宽40m.eq\a\vs4\al()求实际问题中最值的4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；(4)正确写出答案．[跟踪训练]某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域(如图)，它的平面图如图所示，其中由两个全等的矩形ABCD和EFGH构成的十字型区域的面积为200m2.现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设该休闲区域的总造价为S元，AD边的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？解：(1)设DO＝y，则x2＋4xy＝200，即y＝eq\f(200－x2,4x).所以S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×eq\f(1,2)y2＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)(0＜x＜10eq\r(2))．(2)S＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)≥38000＋2eq\r(16×108)＝118000，当且仅当4000x2＝eq\f(400000,x2)，即x＝eq\r(10)时，等号成立，此时S取得最小值，为118000.因此，计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲区域．1．(多选)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)()A．取得最值时a＝eq\f(2,3) B．最大值是5C．取得最值时b＝eq\f(2,3) D．最小值是eq\f(9,2)解析：选AD因为a＋b＝2，令y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(a＋b,2a)＋eq\f(2a＋2b,b)＝eq\f(1,2)＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)＋2≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\f(b,2a)＝eq\f(2a,b)，且a＋b＝2，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时，取“＝”．2．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选D∵x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y