-新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE12空间向量基本定理新课程标准解读核心素养1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题数学抽象2.了解空间向量的基本定理及其意义直观想象“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章．《说文解字》有对这句话的注释．首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”．因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话．联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量．[问题](1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？知识点一共面向量定理1．共线向量基本定理空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若A，B，C三点共线，则eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))共线．()(2)向量eq\o(AB,\s\up7(→))与向量eq\o(CD,\s\up7(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．()(3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．()答案：(1)√(2)×(3)×2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则()A．m，n，p共线 B．m与p共线C．n与p共线 D．m，n，p共面解析：选D由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面．3．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))所以k＝±1.答案：±1知识点二空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作基向量．若p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较共线向量基本定理共面向量定理空间向量基本定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(如果a≠0,且b∥a))⇒存在唯一的实数λ，使得b＝λa如果a，b不共线，则a，b，c共面⇔存在唯一实数对(x，y)，使c＝xa＋yb如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p⇒存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zceq\a\vs4\al()1．构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？提示：不可以．2．在四棱锥O­ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(→))可表示为xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))＋zeq\o(OD,\s\up7(→))且唯一，这种说法对吗？提示：对．1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c答案：C2.如图，已知四面体ABCD的三条棱eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝c，eq\o(AD,\s\up7(→))＝d，M为BC的中点，试用基向量b，c，d表示向量eq\o(DM,\s\up7(→))．解：∵M为BC的中点，∴eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))]＝eq\f(1,2)[(b－d)＋(c－d)]＝eq\f(1,2)(b＋c－2d).空间向量共线问题[例1](链接教科书第16页练习A组2题)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．[证明]如图，连接AO，AC1，A1C1.∵eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))．∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→)))＋eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→))．∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴C1，O，M三点共线．eq\a\vs4\al()1．要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．2．证明空间三点P，A，B共线的方法(1)eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))(λ∈R)；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1).[跟踪训练]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))．求证：E，F，B三点共线．证明：设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(A1F,\s\up7(→))－eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up7(→))．∴E，F，B三点共线．空间向量共面问题[例2](链接教科书第13页例1)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OC1,\s\up7(→))是共面向量．[证明]设eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(C1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(C1C,\s\up7(→))＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴eq\o(B1C,\s\up7(→))＝c－a.∵O是B1D1的中点，∴eq\o(C1O,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(OC1,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(OD1,\s\up7(→))＝eq\o(C1D1,\s\up7(→))－eq\o(C1O,\s\up7(→))＝b－eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)(b－a).∵eq\o(D1D,\s\up7(→))＝eq\o(C1C,\s\up7(→))，∴eq\o(D1D,\s\up7(→))＝c，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1D,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＋c.若存在实数x，y，使eq\o(B1C,\s\up7(→))＝xeq\o(OD,\s\up7(→))＋yeq\o(OC1,\s\up7(→))(x，y∈R)成立，则c－a＝xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（b－a）＋c))＋yeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（a＋b）))＝－eq\f(1,2)(x＋y)a＋eq\f(1,2)(x－y)b＋xc.∵a，b，c不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（x＋y）＝－1，,\f(1,2)（x－y）＝0，,x＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴eq\o(B1C,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))，∴eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OC1,\s\up7(→))是共面向量．1．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))eq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→))).eq\a\vs4\al()[跟踪训练]如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为AC上一点，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M证明：设eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up7(→))＝b－a，∵M为eq\o(DD1,\s\up7(→))的中点，∴eq\o(A1M,\s\up7(→))＝c－eq\f(1,2)a，又∵AN∶NC＝2，∴eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)－a＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)a))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up7(→))．∴eq\o(A1N,\s\up7(→))，eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))为共面向量．又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面．基底的判断及应用角度一基底的判断[例3](链接教科书第15页例2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up7(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up7(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}能否作为空间的一个基底？[解]假设eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1))此方程组无解，即不存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))成立．∴eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}能作为空间的一个基底．eq\a\vs4\al()基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．角度二空间向量基本定理的应用[例4]如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))．[解]eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(c－b)＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′B′,\s\up7(→))＋eq\o(B′N,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′B′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up7(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\o(A′B′,\s\up7(→)))＝a＋b＋eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.[母题探究]1．(变条件)若把本例中的eq\o(AA′,\s\up7(→))＝a改为eq\o(AC′,\s\up7(→))＝a，其他条件不变，则结果又是什么？解：eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝b＋eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))＋eq\o(C′N,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C′B′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\o(A′B′,\s\up7(→)))＝a－eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2.(变条件、变设问)如图所示，本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(MP,\s\up7(→))．解：eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(MC′,\s\up7(→))＋eq\o(C′A′,\s\up7(→))＋eq\o(A′P,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))－eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→)))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)[eq\o(AA′,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))]－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋c－b)－c－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.eq\a\vs4\al()用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．[跟踪训练]设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图，设a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up7(→))，c＝eq\o(AD,\s\up7(→))，则x＝eq\o(AB1,\s\up7(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up7(→))，z＝eq\o(AC,\s\up7(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．答案：31．O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，则()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共线C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线D．O，A，B，C四点共面解析：选D由eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成基底，知eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．下面证明①④正确．①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取eq\o(PQ,\s\up7(→))＝a，eq\o(PR,\s\up7(→))＝b，eq\o(PS,\s\up7(→))＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则eq\o(GH,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)解析：如图，eq\o(GH