-新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语5全称量词与存在量词第2课时课件新人教A版必修第一册

第一章

集合与常用逻辑用语1．5全称量词与存在量词1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定[课程目标]1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在

形式上的变化规律；2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识点含有一个量词的命题的否定存在量词命题全称量词命题

[研读]全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相

反，存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反．【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”．(

)(2)“所有偶数都能被4整除”的否定是“有些偶数不能被4整除”．(

)(3)“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“∃x∈R，x2－2x＋1<0”.(

)√×√(4)“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”(

)(5)的真假性相反．(

)【解析】(1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”．根据含有一个量词的命题的否定结论可知，(2)(3)(4)正确．(5)存在量词命题p与其否定p一真一假．

√√例1写出下列全称量词命题的否定，并判断该否定的真假．(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于1.解：(1)p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．是真命题．(2)p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．是真命题．(3)p：存在x∈Z，x2的个位数字等于1.是真命题．[规律方法](1)全称量词命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)对省略全称量词的全称量词命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．写出下列命题的否定．(1)三个给定产品都是次品；(2)数列1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)所有可以被2整除的整数，其末位数字是0.解：(1)三个给定产品中至少有一个不是次品．(2)数列1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数．(3)存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)存在能被2整除的整数，其末位数字不是0.例2写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x∈R，2x＋5≥0；(2)p：∃x∈R，x2－3x＋<0；(3)p：有些分数不是有理数．[规律方法](1)存在量词命题的否定：将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，存在量词命题的否定是全称量词命题．(2)对省略存在量词的存在量词命题要补回存在量词再否定．解题中若遇到省略“有一些”“有一个”“存在”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p：有一个奇数不能被3整除；(2)p：有些三角形的三个内角都是60°；(3)p：有的一元二次方程有实数根．例3已知集合A＝

，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．已知命题p：存在x>a，使得2x＋a<3是假命题，求实数a的取值范围．解：由题意，p：对任意x>a，都有2x＋a≥3是真命题，等价于：对任意x>a，不等式2x＋a≥3恒成立，从而有2a＋a≥3，即a≥1.例4已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若p和q都是真命题，求实数a的取值范围．1．下列命题中，真命题的个数是(

)①存在实数x，使x2＋2<0；②面积等于1的三角形都全等；③有些三角形是钝角三角形．A．0

B．1

C．2

D．3【解析】因为x2≥0，所以x2＋2＞0，故①是假命题；面积相等的三角形不一定全等，所以②是假命题；显然③是真命题．B2．命题“∃x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是(

)A．∃x∈R，使得x2＋2x≥0B．∃x∈R，使得x2＋2x>0C．∀x∈R，都有x2＋2x≥0D．∀x∈R，都有x2＋2x<0【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x∈R，使得x2＋2x＜0”的否定是：∀x∈R，都有x2＋2x≥0.故选C.C3．已知命题p：存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1>0，那么命题p的否定是(

)A．存在a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0B．存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤0C．对任意a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0D．对任意a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤0D4．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(

)A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B是全称量词命题，所以A，B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错，C正确，故选