-新教材高中数学第15章概率2第1课时古典概型学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE9第1课时古典概型1．古典概型(1)定义：①样本空间Ω只含有有限个样本点；②每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(2)本质：事件所包含的基本事件个数有限；每个基本事件发生的概率相等．2．古典概型的概率计算公式在古典概型中，如果样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{wk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是eq\f(1,n)，如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝__eq\f(m,n)__．1．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中所有样本点有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝eq\f(k,n).A．②④B．①③④C．①④D．③④【解析】选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确．2．(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(4,5)【解析】选A.如图，从O，A，B，C，D5个点中任取3个点有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}共10种不同取法，3点共线只有{O，A，C}与{O，B，D}共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．【解析】记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，样本点有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，所以样本点中含有甲或乙的有9种可能，故所求概率为eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)4．做A，B，C三件事的费用各不相同．在一次游戏中，要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由多到少排列).如果某个参加者随意写出答案，他正好答对的概率是________．【解析】A，B，C三件事排序，有6种排法，记“参加者正好答对”为事件D，由古典概型的概率公式，得P(D)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5．一个袋中已知有3个白球，2个黑球，第一次摸出一个球，然后再放进去，再摸第二次，求两次都是摸到黑球的概率．【解析】把它们编号，白球为1，2，3，黑球为4，5，用(x，y)记录摸球结果，x表示第一次摸到球号数，y表示第二次摸到球号数．样本空间为：{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，一共25种，两次摸球都是黑球的样本点有：(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，共4个，所以P＝eq\f(4,25).一、单选题1．抛掷一枚骰子，下列不是一个样本点的是()A．向上的点数是奇数 B．向上的点数是3C．向上的点数是4 D．向上的点数是6【解析】选A.向上的点数是奇数包含3个样本点：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，所以A不是一个样本点．2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(3,10)C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)【解析】选B.样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为eq\f(3,10).3．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)【解析】选C.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，样本空间为：{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个样本点，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)【解析】选C.从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).5．某校高二年级4个文科班要举行一轮单循环(每个班均与另外3个班比赛一场)篮球赛，则所有场次中甲、乙两班至少有一个班参加的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,6)【解析】选D.记4个班分别为甲、乙、丙、丁，则他们的比赛对阵场次为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种，其中甲、乙两班至少有一个班参加的有5种，则所求概率P＝eq\f(5,6).6．设a是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,12)【解析】选A.基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根，则a2－8>0，满足上述条件的a为3，4，5，6，故概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).二、多选题7．下列概率模型是古典概型的为()A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．同时掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【解析】选ABD.古典概型的特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．显然A，B，D符合古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型．三、填空题8．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．【解析】因为摸出白球的概率是0.23，所以由古典概型概率公式，知白球的个数为100×0.23＝23(个)，所以黑球的个数为100－23－45＝32(个)，所以摸出黑球的概率为eq\f(32,100)＝0.32.答案：0.329．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．【解析】从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数n＝4×4＝16，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有8个，分别为：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，4)).所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)四、解答题10．某地发生大地震，全国人民纷纷伸出援助之手，白衣天使更是无私奉献．现随意安排甲、乙、丙3个医生在某医疗救助点值班3天，每人值班1天，(1)这3人值班的顺序共有多少种不同的排法？(2)其中甲在乙之前的排法有多少种？(3)甲排在乙之前的概率是多少？【解析】(1)3人值班的顺序所有可能的情况如图所示：由图知，3人值班的顺序共有6种不同的排法．(2)由图知，甲在乙之前的排法有3种．(3)记“甲排在乙之前”为事件A，则事件A的概率是P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).11．(1)从A，B，C三个人中选两个人分别担任正副班长，求A当选的概率；(2)从A，B，C三个人中选两个人去担任学生代表，求A当选的概率．【解析】(1)由题意可知，样本空间为{AB，AC，BA，CA，BC，CB}，共有六个样本点，设事件M＝“A当选”，则M中包含4个样本点，由古典概型公式得，P(M)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)由题意可知，样本空间为{AB，AC，BC}，共有三个样本点，设事件N＝“A当选”，则N中包含2个样本点，由古典概型公式得，P(N)＝eq\f(2,3).一、选择题1．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件A，则事件A的概率为()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【解析】选A.从5人中随机选取2人，共有10种选法，而甲被选上且乙不被选上，共有3种选法，所以对应事件A的概率为eq\f(3,10)＝0.3.2．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”．若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,6)【解析】选A.依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C.由题意可知，可能的比赛为aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率P＝1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).3．从1，2，3，…，30中任取一个数，它是偶数或能被3整除的数的概率为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)【解析】选D.从1，2，3，…，30中任取一个数共有30种情况，其中能被3整除的数共有10个，偶数共15个，其中既能被3整除又是偶数的数有5个，故是偶数或能被3整除的数共有15＋10－5＝20个，故所求概率P＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).4．(多选)袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个球，则是基本事件的为()A．(正好2个红球)B．(1个红球，1个黑球)C．(至少1个白球)D．(正好2个黑球)【解析】选ABD.从里面摸2个球，样本空间为：Ω＝{(2个红球)，(2个白球)，(2个黑球)，(1红1白)，(1红1黑)，(1白1黑)}．“至少1个白球”包括“(1白1红)，(1白1黑)，(2个白球)”，包含3个样本点．二、填空题5．从5件正品，1件次品中随机取出2件，则取出的2件产品中恰好是1件正品，1件次品的样本点有______个．【解析】设5件正品分别为A，B，C，D，E，次品为1，则取出2件产品的所有可能为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，A1，B1，C1，D1，E1共15种，符合要求的样本点为：A1，B1，C1，D1，E1共5种．答案：56．用红、黄、蓝三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________．【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色，则所有的基本事件有：红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、蓝蓝蓝，共27个基本事件，事件“3个矩形颜色都相同”所包含的基本事件有：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝，共3个基本事件，所以3个矩形颜色都相同的概率是eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).事件“3个矩形颜色都不同”所包含的基本事件有：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄，共6个基本事件，所以3个矩形颜色都不同的概率是eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(1,9)eq\f(2,9)7．甲、乙、丙三组学生人数分别为3，2，2，现从中抽2人，则这两人来自同一组的概率为________．【解析】设甲组的3名学生记为A1，A2，A3，乙组的2名学生记为B1，B2，丙组的2名学生记为C1，C2，所有的基本事件有：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，B1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，B1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，B1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B2，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B2，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C1，C2))，共21种，其中，事件“所抽取的2人来自同一组”所包含的基本事件有：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C1，C2))，因此所求事件的概率为eq\f(5,21).答案：eq\f(5,21)8．如图所示是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．则此人到达当日空气质量优良的概率为______；此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为______．【解析】在2月1日至2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为eq\f(5,12).所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P＝eq\f(1,4)＋eq\f(5,12)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,6)eq\f(2,3)三、解答题9．用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体a在第1次未被抽到，而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？【解析】将6个个体编号为1，2，3，4，5，a，则从中抽出的2个个体的编号可能为(前一个编号表示第一次抽到，后一个编号表示第二次抽到)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，a)；(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，a)；(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，a)；(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，a)；(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，a)；(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5).(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是P＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)；(2)个体a在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是P＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)；(3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是P＝e