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第四节极化恒等式上一节我们针对不同的情形提出了三种向量数量积的求解方法，特别是当两个向量一动一静时，利用投影法在解决问题起到了明显的效果，那如果两个向量都是动向量，此时该怎么办呢？为此，我们来探究向量的一个重要等式——极化恒等式.首先我们从一个非常简单知识出发——平行四边形法则如图所示，在中由两边平方得即上式减下式得：即.我们称上面这个等式为极化恒等式.根据极化恒等式，向量数量积的几何意义可以理解为：任意两个向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.推论：在中，为的中点，则.几何意义：任意两个向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边三角形的“中线”与“第三边一半”的平方差.事实上，可以证明当点落在直线上时，上述等式仍然成立.并且我们分别称等式与为极化恒等式的平行四边形模型与三角形模型.【知识拓展】在中，根据上述推导过程已知两式相加得：于是我们得到平行四边形定理在中，.推论：在中，设为边的中线，则.上面两个结论将在我们以后的学习中起到关键作用.【例1】如图在三角形中，为的中点，是上的两个三等分点，则值为.【解析】设解得.点评当问题与“中点”有关时，可考虑使用极化恒等式求解问题.【变式1】在平面四边形中，为的中点，且，．若，则的值为．【变式2】如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为.【变式3】设点为的重心，，，则的值为．【例2】如图，已知正方形的边长为2，为的中点，以为圆心，为半径，作圆交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值为.【解析】如图取的中点.则而，当且仅当重合时等号成立所以的最小值为点评构造中点，利用极化恒等式将数量积转化为线段长问题.【例3】已知为圆的直径，为圆的弦上一动点，，，则的取值范围是.【解析】如图.点评利用极化恒等式处理两个动向量的数量积问题时思路清晰，切中要害，可以非常快速地抓住影响数量积变化的关键量.【变式1】如图，已知正三角形内接于半径为2的圆中，是圆上一动点，则的取值范围为.【变式2】（2022全国=2\*ROMANII卷12题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小为（）A.B.C.D.【变式3】如图，在正方形中，，分别在轴的非负半轴上滑动，则的最大值为.【变式4】已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点满足，则离心率的取值范围为.【变式5】若平面向量满足，则

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