方程与离心率相关问题讲义及练习

讲次3.方程与离心率相关问题-教师版一.综述椭圆与双曲线的考题中,对方程与离心率的考查一直都是热点,几乎每张考卷都会涉及.(一)解决方程问题需要抓住:(1)确定曲线焦点所在的坐标轴的位置,(2)根据条件求出方程中的a,b的值.(二)解决离心率问题需要注意:(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时,有的是根据题目条件直接求出c和a的值,而有的不能够直接求出c与a,只能根据题目给出的条件,建立关于参数c，a，b的方程或不等式(这个方程或不等式,可以是根据题意直接得到的,也可以是根据几何特征转化而来的),通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.二.例题精讲破解规律例1.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上,求椭圆的方程.分析:将点代入椭圆方程,再结合离心率得到,然后解出,得标准方程.解析:椭圆的离心率，所以，又点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为.答案：.点评:利用和得到a,b的值,从而得到曲线方程.规律总结:题目条件已知某点在曲线上,一般可以从两个角度来处理:(1)代数:该点坐标满足曲线方程,(2)几何:该点满足曲线的几何特征.现学现用1:求焦点在轴，焦距为4，并且经过点的椭圆的标准方程解析:可设椭圆的标准方程为，两个焦点的坐标分别为，由椭圆的定义知，又因为，所以，故所求椭圆的标准方程为.例2.在中,，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（）A.B.C.D.分析:题目中给出的图象是比较典型的三角形:一个顶点是椭圆的焦点,其对边是过椭圆另一个焦点的弦.利用其周长为4a,求出a.再利用角A为直角求出焦距,算出c.从而的到离心率e.解析:设另一焦点为中，，又,.在中焦距则.故选答案:.点评:本题主要考查了椭圆的几何性质.设另一焦点为,则可在中,根据勾股定理求得,进而根据椭圆的定义知,求得的值,再利用求得,最后在中根据勾股定理求得,得到焦距,进一步求得离心率.规律总结:相关离心率的问题中,如题目中给出的几何条件较多,可考虑利用椭圆或双曲线的定义,结合题意寻找关于a、b、c的方程或不等式,从而求出离心率或离心率的范围.现学现用2:已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.B.解析:设椭圆方程为，双曲线方程为（），半焦距为，由面积公式得，所以，即令，，为参数，所以.所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选A.例3:已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切.求椭圆的离心率；分析:有直线和圆相切得到关于的关系式，整理可得，从而可得答案:解析:以为直径的圆与直线相切.可得:，即整理可得:,.点评:根据题目中的直线与圆相切,可以得到一个关于a、b、c的方程,消去b后得到齐次式,整理即可得到离心率.规律总结:相关离心率的问题中,如题目中给出的条件不容易结合椭圆或双曲线的定义,往往考虑用代数法寻找关于a、b、c的方程或不等式,从而求出离心率或离心率的范围.现学现用3:已知直线与双曲线有两个不同的交点，求双曲线离心率的范围.解析：联立消去得，由于直线与双曲线有两个不同的交点，则且，解得或，三.课堂练习强化技巧1.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（）A.B.C.D.答案:B解析:由题意设该双曲线的标准方程为，，则且，则，即，则，即，则，所以，即该双曲线的方程为.故选B.2.已知分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.答案:A解析:连接，可得，由焦距的意义可知，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，即，变形可得双曲线的离心率，故选A.3.已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上作此圆的切线，切点为，且得最小值不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.答案:B解析:依题意可知，圆心为，半径为，设在椭圆上，依题意有，当取得最小值时，取得最小值，此时点位于椭圆右顶点，即，即，化简得，两边平方得，即，，解得.由于，即，故离心率的取值范围是.四.课后作业巩固内化1.过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为，则的离心率为（）A.B.C.D.答案:B解析:，代入双曲线方程可得，取双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，，，，故选B.2.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.3答案:C解析:由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a，由|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=，则有（|PF1|+|PF2|）2﹣4|PF1|•|PF2|=9b2﹣9ab=4a2，即有（3b﹣4a）（3b+a）=0，即有3b=4a，即9b2=16a2=9（c2﹣a2），则9c2=25a2，即有3c=5a，则e==．故选：C3.过曲线C1：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px(p＞0)于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|A.5B.5-1C.5+1D答案:D解析:设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c，0)，由题意知F2也是C3的焦点，所以C3：y2＝4cx.连接OM，NF2，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2.因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a.又NF2⊥NF1，|F1F2|＝2c，所以|NF1|＝2b.设N(x，y)，则由抛物线的定义可得|NF2|＝x＋c＝2a，所以x＝2a－c.过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由y2＋4a2＝4b2，即4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，得e2－e－1＝0，解得e＝5+12(负值舍去)，故选4.已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.答案:D解析:由双曲线的定义知，又轴，所以的内切圆半径为，由，得，故选D5.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过左顶点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.D.答案:B解析:由，得，则的面积为，，故选B.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案:D解析:①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或当时，则有(是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则，因此，即，则当时，则有(是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即，则综上所述，椭圆的离心率取值范围是.故选D7.已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（）A.若，则双曲线离心率的取值范围为B.若，则双曲线离心率的取值范围为C.若，则双曲线离心率的取值范围为D.若，则双曲线离心率的取值范围为答案:C解析:若，，得，若，时，双曲线离心率范围，故选C.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是。答案:解析:因为在中，由正弦定理得，则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得，则，解得，由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率.9.已知双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则的最小值的取值范围是________．答案:解析:设P(m，n)，则，即m2＝a2,又F1(－1,0)，F2(1,0)，则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，＝