四川省成都市都一中数学2-1同步测试第二章第10课时抛物线的简单几何性质含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第10课时抛物线的简单几何性质基础达标（水平一）1.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、｜FM｜为半径的圆与抛物线C的准线相交于不同两点,则y0的取值范围是(）。A。(0，2) B。［0，2］ C.(2,+∞） D。［2，+∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据题意,只要满足|FM｜>4即可.由抛物线定义知，｜FM|=y0+2.由y0+2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是（2,+∞)。【答案】C2。探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60cm,灯深40cm,则光源到反光镜顶点的距离是（)。A.11。25cm B。5。625cmC.20cm D.10cm【解析】如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y2=2px(p〉0),则点A(40，30)。∴302=2p·40，∴p=454,∴y2=45∴光源到反光镜顶点的距离为p2=12×454=458=5。625【答案】B3.抛物线y2=2x的焦点为F，其准线经过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0,b〉0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且｜MF|=2A。102 B。2 C.5 D.【解析】点F12,0,准线l:由题意知a=12由抛物线的定义知，xM--12=2,∴xM=∴yM2=3。∵点(xM，yM)在双曲线上，∴9414∴b2=38，∴c2=a2+b2=58，∴e2=c2a2=5∴e=102【答案】A4。已知点O为坐标原点，点F为抛物线y2=4x的焦点，点A是抛物线上一点,若OA·AF=-4，则点A的坐标是(）.A.(1，2） B。(4,4)C。(1，2)或(1,-2) D.(4,4)或（4,—4)【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0），设点Ay0则OA=y024,y由OA·AF=-4,得y0=±2，所以点A的坐标是(1，2)或（1，—2)。【答案】C5.对标准形式的抛物线，给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。其中满足抛物线方程y2=10x的是.（要求填写适合条件的序号)

【解析】抛物线y2=10x的焦点在x轴上，①不满足,②满足;设M(1，y0)是抛物线y2=10x上的一点,F为抛物线的焦点,则｜MF｜=1+p2=1+52=72≠6,所以③不满足；由于抛物线y2=10x的焦点为52,0，过该焦点的直线方程为y=kx-52,若由原点向该直线作垂线,垂足坐标为(2,1）时,则【答案】②④6.设过点P(-2，4)且倾斜角为135°的直线l与抛物线C：y2=2px（p〉0)相交于A，B两点,若|PA｜，|AB｜，|PB｜成等比数列,则抛物线C的方程为。

【解析】直线l的方程为y=—x+2，联立y=—x+2和y2=2px，消去x，得y2+2py-4p=0.设点A(x1，y1),B（x2,y2），则y1+y2=—2p，y1y2=-4p.由P,A,B三点共线，且｜PA｜,|AB｜，｜PB｜成等比数列，则｜y1-4|,|y1-y2|,｜y2-4|也成等比数列，得｜（y1-4)(y2-4)｜=｜y1-y2|2≠0,则|y1y2-4(y1+y2）+16｜=（y1+y2)2—4y1y2，且y1≠y2,即|p+4|=p2+4p,且Δ=（2p)2—4(—4p)=4p2+16p〉0,解得p=1.所求抛物线的方程为y2=2x。【答案】y2=2x7。在平面直角坐标系中,已知点A（0，4），B（0，—2）,动点P(x,y)满足PA·PB-y2+8=0.（1)求动点P的轨迹方程;（2)设（1)中所求的轨迹与直线y=x+2交于C,D两点，求证：OC⊥OD(O为坐标原点).【解析】(1)由题意,可知PA=（—x，4—y),PB=（-x,—2-y）,∴x2+（4—y）(-2—y)-y2+8=0,整理得x2=2y,∴动点P的轨迹方程为x2=2y.(2）由y=x+2,x2=2y,整理得∴x1+x2=2,x1x2=-4.∵kOC·kOD=y1x1·=x=-=-1，∴OC⊥OD.拓展提升（水平二）8.已知点M在抛物线y2=6x上,N为抛物线的准线l上的一点,F为抛物线的焦点，若FN=MF,则直线MN的斜率为（）。A。±2 B。±1 C.±2 D.±3【解析】由题设可知点M,N,F三点共线,且点F是线段MN的中点，不妨设点M(x0，y0)（y0<0），N-32,t(t〉0)，F32,0，则x0=92，y0=—t。又点M（x0,y0）在抛物线上，所以y02=6x0，即y0=—33,所以设y0〉0,则t〈0，同理可得MN的斜率k=3,故选D。【答案】D9.已知点A（1，2）在抛物线C：y2=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于D,E两点，直线AD，AE的斜率分别为kAD,kAE，若直线DE过点P（—1，—2），则kAD·kAE=（）.A.4 B.3 C.2 D.1【解析】设点D（x1，y1)，E(x2,y2）,则kAD=y1-2x1-∴kAD·kAE=y1-2x1-1设直线DE：y+2=k（x+1),联立方程y消去x，可得ky2—4y+4k-8=0.∴y1+y2=4k,y1y2=4∴x1+x2=y1+yx1x2=(y1y代入①可得kAD·kAE=4k-8【答案】C10.已知南北方向有条公路L,A地在公路正东2km处，B地在A地北偏东60°方向23km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A,B两地运货物。经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km,那么，修建这两条公路的总费用最低是万元.

【解析】如图所示，由题意知,曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义,知欲求M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B点到准线L的距离即可。∵B地在A地北偏东60°方向23km处，∴B点到抛物线L的距离为23·sin60°+2=5(km)，∴修建这两条公路的总费用最低为5a万元.【答案】5a11。已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，A，B为抛物线上两点.（1)若OA·OB=0,求证:直线AB恒过定点,并求出该定点坐标.(2）若线段AB中点的横坐标为2，且AB不与x轴垂直,求证:线段AB的垂直平分线恒过定点,并求出该定点坐标。（3)若线段AB过焦点F,AO与抛物线的准线交于点C,求证:BC∥x轴。【解析】(1）显然AB不与x轴平行,故设AB所在直线的方程为x=my+a，A(x1,y1），B（x2，y2).由x=my+a,y2=4x得∴y1+y2=4m，y1y1=—4a。∵OA·OB=x1x2+y1y2=（my1+a)（my2+a)+y1y2=(m2+1）y1y2+ma（y1+y2)+a2，代入化简得a2—4a=0，∴a=0（舍去)或a=4,∴直线AB的方程为x=my+4,直线恒过定点(4，0).(2）若AB不与x轴垂直,设AB所在直线的方程为y=kx+b，由y=kx+b,y2=4x得k2x2+(∵x1+x2=4-2kbk2=4,又AB中点的坐标为（2，2k+b），∴线段AB的垂直平分线为y—(2k+b)=—1k(x—2）将①代入得方程为x+ky-4=0,直线恒过定点(4,0)。（3)当直线AB的斜率存在时,设线段AB所在直线的方程为y=k(x—1）,由y=k(x-1),y2=4∴y1y2=—4，即y2=-4