辽宁省辽阳市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精辽阳市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）(2−i)2−(1+3i)=(A。2−7i B。2+i C。4−7i D.4+i【答案】A【解析】解:(2−i)2−(1+3i)=3−4i−(1+3i)=2−7i．

故选：A．

直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．设集合A={x∈Z|x>4}，B={x|x2<100}，则A∩B的元素个数为(A。3 B。4 C。5 D.6【答案】C【解析】解:∵集合A={x∈Z|x>4}，

B={x|x2<100}={x|−10<x<10}，

∴A∩B={5,6，7，8，9},

∴A∩B中的元素个数为5．

故选：C．

先分别求出集合A和B,再求出A∩B，由此能求出结果．双曲线x2−y2=3的焦距为A.22 B.4 C.26 【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线x2−y2=3的标准方程为x23−y23=1,

其中a=b=3，

则c=a2+b2=6设x,y满足约束条件y≥−3x+4y≥x−1，目标函数z=x+3y，则()A.z的最大值为3 B。z的最大值为2 C。z的最小值为3 D。z的最小值为2【答案】D【解析】解：由y≥−3x+4y≥x−1作出可行域如图，

联立y=−3x+4y=x−1，解得A(54,14)，

化目标函数z=x+3y为y=−x3+z3，由图可知，当直线y=−x3+z3过A时，已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)与g(x)=A2cosωx的部分图象如图所示，则A.A=1，ω=3π

B.A=2，ω=π3

C.A=1，ω=π3【答案】B【解析】解：由图象可知,12A=1,T4=1.5，

∴A=2，T=6,

又6=T=2πω,

∴ω=13π，

故选：B．

△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知a=4,c=9，sinAsinC=sin2BA。6572 B。3136 C。78【答案】D【解析】解：∵a=4，c=9,sinAsinC=sin2B，

∴b2=ac=36，

∴cosB=a2+已知f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，当x>0时,f(x)=x+1x,则f(x)的值域为(A.(−∞,−2]∪[2,+∞) B。[−2,2]

C.(−∞,−1]∪[1,+∞) D.[2,+∞)【答案】A【解析】解：根据题意,当x>0时,f(x)=x+1x，则f(x)=x+1x≥2×x×1x=2，

又由函数f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，则当x<0时，有f(x)≤−2，

则函数的值域为(−∞,−2]∪[2,+∞)；

故选：A．正三棱锥A−PBC的侧棱两两垂直，D,E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为()A.36 B。56 C。33【答案】D【解析】解：如图,

设AB=2,以A为坐标原点，分别以AB，AC,AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0，2)，D(0,0，1)，C(0,2，0)，E(1,1，0)，

DE=(1,1,−1)，PC=(0,2,−2)，

则cos<DE,PC>=DE⋅PC|DE|⋅|PC|=2+23×22=63．

∴异面直线PC与DE所成角的余弦值为63．

故选:D．

设AB=2,以(1+x2−2x)(1+x)A。1 B.−9 C。31 D。−19【答案】B【解析】解：(1+x)5展开中第r+1项为Tr+1=∁5rxr,其x2的系数，常数项，x3的系数分别为∁52，∁50，∁53，

故(1+x2−2x)(1+x)5展开式中x2的系数为∁设a=log30.4，b=log23A。ab>0且a+b>0 B.ab<0且a+b>0

C.ab>0且a+b<0 D.ab<0且a+b<0【答案】B【解析】解：∵13<0.4<1；

∴−1<log30.4<0;

又log23>1;

即−1<a<0，b>1；

∴ab<0，a+b>0．

故选：B．

容易得出−1<log30.4<0，log2一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n=10(m>≥n),从这批排球中每次随机取一个,有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若DX=2.1，从这批排球中随机取两个,则至少有一个正品的概率p=()A.4445 B.1415 C。79【答案】B【解析】解:由题意知，随机变量X～(10,n10)，

则方差DX=10×n10×(1−n10)=2.1,

又m≥n,则n≤5，

∴解得n=3，

∴所求的概率为p=1−C32C102=已知函数f(x)=3x+18,x<−3−x2(x+2),−3≤x<0−3x+3,x≥0,在[m,n]上的值域为[−3227,9]，若n−m的最小值与最大值分别为A.731162 B.631162 C。731135【答案】D【解析】解：函数f(x)=3x+18,x<−3−x2(x+2),−3≤x<0−3x+3,x≥0,当−3≤x<0时,f(x)=−x2(x+2)，

f′(x)=−3x2−4x，令f′(x)=0，可得x=−43,

当x=−43时,f(x)取得极小值为：−3227.又f(−3)=9，可得f(x)的图象如图：

由3x+18=−3227，可得x=−6−3281;

由二、填空题（本大题共4小题，共20。0分）已知向量a，b的夹角为120∘，且|a|=1，|b|=4，则【答案】−2【解析】解:由向量的数量积公式得：

a⋅b=|a||b|cos120∘=1×4×(−若tanα=−3，则tan(2α+π4【答案】7【解析】解：∵tanα=−3，

∴tan2α=2tanα1−tan2α=−3×21−(−3)若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF【答案】[【解析】解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF2|，其中F1,F2分别是C的左、右焦点，

∴|PF1|+|PF2设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上.若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60∘,则球O的表面积为【答案】28π【解析】解：如图，

设该圆柱底面半径为r,高为h,则2πr2=8π，

hr=tan60∘=3，解得r=2，h=23，

则球O的半径R=r2+(h2)2=7，

故球O的表面积为三、解答题（本大题共7小题）设Sn为等差数列{an}的前n项和，(1)求{a(2)若S3,a14,Sm【答案】解:(1)∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=81，a2+a3=8．

∴a2+a3=2a1+3d=8S9=9a5=9(a1+4d)=81,

解得a1【解析】(1)由等差数列{an}的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式．

(2)推导出Sn=n(1+2n−1)2=n2.由S3，如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AC=BC，且BC⊥AC．

(1)证明:平面PBC⊥平面PAC；

(2)设棱AB，BC的中点分别为E,D，求平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值．

【答案】证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,

∴PA⊥BC，

∵BC⊥AC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC，

∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC．

解：(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

令AC=2，则P(0,2，2)，D(1,0，0),E(1,1，0)，

则DE=(0,1,0)，PE=(1,−1,−2)，

设平面PDE的法向量为n=(x,y，z)，

则n⋅DE=y=0n⋅PE=x−y−2z=0,取x=2,得n=(2,0，1)，

平面PAC的一个法向量m=(1,0，0),

则【解析】(1)推导出PA⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PBC⊥平面PAC．

(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值．

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

在直角坐标系xOy中直线y=x+4与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点,且OA⊥OB．

(1)求C的方程；

(2)若D为直线y=x+4外一点,且△ABD的外心M在C上,求M的坐标．【答案】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立y=x+4x2=2py，可得x2−2px−8p=0，

则x1+x2=2p，x1x2=−8p,

从而y1y2=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=−8p+8p+16=16，

∵OA⊥OB，

∴【解析】(1)联立方程组,根据韦达定理和向量的数量积即可求出，

(2)先求出线段AB的中垂线方程为y=−x+8，再联立方程组，解得即可．

本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力,属于中档题

某工厂共有男女员工500人,现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：每月完成合格产品的件数(单位：百件)[26,28)[28,30)[30,32)[32,34)[34,36]频数10453564男员工人数7231811(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手"由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“生产能手"与性别有关？非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工合计(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的,计件单价为1元;超出(0,200]件的部分,累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元;超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人,女员工中随机选取2人进行工资调查，没实得计件工资(实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资)不少于3100元的人数为Z,求Z的分布列和数学期望．

附:K2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】解：(1)列联表：非“生产能手”“生产能手”合计男员工48250女员工42850合计9010100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841．

∴有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．

(2)当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为2600×1+200×1.2+200×1.3=3100元．

从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p1=12．

在该厂男员工中随机选取1人,女员工中随机选取2人进行工资调查,实得计件工资不少于3100元的人数为Z=0,Z

0

1

2

3

P

3

8

72E(Z)=0×【解析】(1)求得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841.即可判定有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．

(2)可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为3100元.从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p1=25已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx．

(1)当a>1时，求f(x)的单调递增区间；

(2)证明:当−12<a<0时，f(x)有两个零点;

(3)若【答案】解：(1)f′(x)=x−(a+1)+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，

当a>1时,由f′(x)>0,解得:0<x<1或x>a,

故f(x)在(0,1)，(a,+∞)递增；

(2)证明:当−12<a<0时，f(x)在(1,+∞)递增，在(0,1)递减，

则f(x)min=f(1)=−a−12<0，

∵∃m∈(0,1),f(m)>0，且f(2)=a(−2+ln2)>0

(或x→0，f(x)→+∞,f(x)→+∞)，

故f(x)有2个零点；

(3)证明：g(x)=12x−a−1+alnxx，

g′(x)=x2+2a(1−lnx)2x2，

设h(x)=x2+2a(1−lnx),

∵a<−12，

故h(x)在(0,+∞)递增，

【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可；

(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值,求出函数的零点即可;

(3)求出g(x)的解析式,求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y=4t−1x=2t+1(t为参数)，曲线C的参数方程为y=2+sinθx=a+cosθ(θ为参数)．

(1)求l和C的直角坐标方程;

【答案】解：(1)∵直线l的参数方程为y=4t−1x=2t+1(t为参数)，

∴直线l的直角坐标方程为2x−y−3=0．

∵曲线C的参数方程为y=2+sinθx=a+cosθ(θ为参数)，

∴曲线C的直角坐标方程为(x−a)