专题03 分类讨论思想(解析版)

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专题03分类讨论思想

思想办法诠释

分类讨论思想：是当咨询题的对象别能举行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准举行分类，然后对每一类分不研究，给出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个咨询题的解答．实质上分类讨论算是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.

【典例说解】

要点一由概念、性质、运算引起的分类讨论

[解析](1)f(1)＝e1－

1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，则需f(a)＝1.

当a≥0时，由f(a)＝ea－

1＝1得a－1＝0，即a＝1；

当－12(k∈Z)，由－10，此刻a2＝12，∵－12

.

综上，a＝1或－

2

2

，故选B.(2)当n≥2时，∑i＝2n－1

ai2i－1＝3n

，又∑i＝2

nai2i－1＝3n＋1，两式相减，得an2n－1＝2×3n，因此an＝6n.由于a1＝7别符合

an＝6n

，因此数列{an}的通项公式为an＝?

????

7，n＝1，

6n，

n≥2.

[答案](1)B(2)an＝?

????

7，n＝1，

6n，n≥2

解决由概念、法则、公式引起的分类讨论咨询题的步骤

第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，普通把需要用到公式、定明白决咨询题的对象作为分类目标．

第二步：依照公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象举行区分．第三步：分类解决“分目标”咨询题．对分类出来的“分目标”分不举行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”咨询题举行汇总，并作进一步处理．

【训练】1．若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为12，则m

n

＝()

A.3

4B.4

3C.

32或233

D.34或43

[解析]若焦点在x轴上，则方程化为x21m＋y21n＝1，依题意得1m－1n1m＝14，因此mn＝3

4；若焦点在y轴上，则

方程化为y21n＋x21m

＝1，同理可得mn＝43.因此所求值为34或4

3.

[答案]D

【训练】2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋13时，

由

m3≥tan∠AMB2，得m

3

≥tan60°，

解得m≥9.

综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．

(2)函数f(x)＝－????x－a22＋a2

4的图象的对称轴为x＝a2，应分a21，即a2三种情形讨论．

①当a2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1，由a－1＝4，得a＝5，满脚题意．综上可知，a＝5或－5.[答案](1)A(2)5或－5

几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数咨询题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由歪率引起的位置变化；

(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．

【训练】3．已知变量x，y满脚的别等式组????

?

x≥0，y≥2x，

kx－y＋1≥0，表示的是一具直角三角形围成的平面区域，

则实数k＝()

A．－12B.12C．0D．－1

2或0

[解析]别等式组????

?

x≥0，y≥2x，

kx－y＋1≥0，表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使别等式组

????

?

x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0，

表示的平面区域是直角三角形，惟独当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满脚．

结合图形可知歪率k的值为0或－1

2，故选D.

[答案]D

4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分不是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2，则a的值为________．

[解析]由三角形面积公式，得1

2×3×1·sinA＝2.

故sinA＝22

3

.

因为sin2A＋cos2A＝1，

因此cosA＝±1－sin2A＝±

1－89＝±13

.

①当cosA＝1

3

时，由余弦定理，得

a2＝

b2＋

c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×1

3＝8.

因此a＝22.

②当cosA＝－1

3

时，由余弦定理，得

a2＝

b2＋

c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×????－1

3＝12，因此a＝23.综上a＝22或23.[答案]22或23

要点三由参数变化引起的分类讨论

[解](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．(ⅰ)若a≤0，则f′(x)0，则由f′(x)＝0得x＝－lna.

当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)0.因此f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一具零点．

(ⅱ)若a>0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－1

a＋lna.

①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)惟独一具零点；

②当a∈(1，＋∞)时，由于1－1

a

＋lna>0，即f(－lna)>0，故f(x)没有零点；

③当a∈(0,1)时，1－1

a

＋lna－2e－

2＋2>0，故f(x)在(－∞，－lna)有一具零点．设正整数n0满脚n0>ln????

3a－1，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0>en0－n0>2n0－n0>0.由于ln????

3a－1>－lna，所以f(x)在(－lna，＋∞)有一具零点．综上，a的取值范围为(0,1)．

由参数变化引起分类讨论的关注点

若遇到题目中含有参数的咨询题，常常结合参数的意义及对结果的妨碍举行分类讨论，本例(1)中f′(x)＝0会得出aex＝1，因ex>0，故应分a≤0，a>0讨论．(2)中当a>0时，函数f(x)的零点与f(x)的最小值相关，故讨论的依据是f(x)的最小值的正负事情．此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化事情，参数有几何意义时还要思考适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，别重别漏．

【训练】5．设函数f(x)＝ex－ax，a是常数．

(1)若a＝1，且曲线y＝f(x)的切线l通过坐标原点(0,0)，求该切线的方程；(2)讨论f(x)的零点的个数．[解](1)a＝1时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1

设切点坐标是(m，em－m)，则k＝f′(m)＝em－1，

故切线方程是：y－(em－m)＝(em－1)(x－m)．由0－(em－m)＝(em－1)(0－m)，得m＝1，

所求切线为：y＝(e－1)x.

(2)f′(x)＝ex－a，①当a>0时，由f′(x)＝0得x＝lna.

若xlna，则f′(x)>0.

函数f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(lna)＝a(1－lna)．(ⅰ)00，f(x)无零点．

(ⅱ)a＝e时，f(lna)＝a(1－lna)＝0，

f(x)惟独一具零点．

(ⅲ)a>e时，f(lna)＝a(1－lna)0与函数的单调性，

f(x)在区间(－∞，lna)和(lna，＋∞)各有一具零点，f(x)共有两个零点．

②a＝0时，f(x)＝ex，f(x)无零点．

③ae时，f(x)有两个零点．

【思想办法总结】

1．分类讨论的原则

(1)别重别漏．

(2)标准要统一，层次要分明．

(3)能别分类的要尽可能幸免或尽可能推迟，决别无原则地讨论．

2．分类讨论的思维流程

明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类举行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．

分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．

【强化训练】一、挑选题

1．设函数f(x)＝?????

????12x－7，x－3，此刻－3解法二：取a＝0,f(0)＝00时，则Δ＝m2－4m≤0，解得00，b>0)，渐近线方程为y＝±b

ax，

因此ba＝tanπ3＝3，故双曲线的离心率e＝c

a

＝

1＋b2

a

2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±abx，因此

a

b＝tanπ3＝3，则ba＝33，因此双曲线的离心率e＝c

a

＝

1＋b2

a

2＝1＋??

?

?332＝233.故选B.

[答案]B

5．已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则()

A．(a－1)(b－1)0

C．(b－1)(b－a)0

[解析]∵a，b>0且a≠1，b≠1，∴当a>1，即a－1>0时，别等式logab>1可化为alogab>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)0，(b－1)(b－a)>0.

当01可化为alogab0，(b－1)(b－a)>0.综上可知，选D.[答案]D

6．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()

A．18条B．20条

C．21条D．22条

[解析]设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，