假设法解题方法总结 解题总结,思考创新

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对解题的研究可以扶助我们如何数学地斟酌问题，数学地解决问题，进而再提出新的问题。直线与圆是解析几何的重要内容，从近年的高考测验处境来看，对这片面的要求明显高于圆锥曲线，其中直线与圆的位置关系成为近几年高考命题的重点，成为测验学生数形结合、分类议论、方程等数学思想及配方法、换元法、待定系数法、定义法等根本方法的首选载体。下面笔者就一道高考模拟题来谈谈如何解题，如何再斟酌。

题目：已知圆C:（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0），若l1与圆相交于点P，Q，线段PQ的中点为M，又直线l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM・AN是否为定值？若是，那么求出该定值；若不是，请说明理由。

分析一：根据条件“判断AM・AN是否为定值”，寻求点M，N的坐标，由于N是直线l1与l2的交点，即可联立方程组求得。M是线段PQ的中点，根据中点坐标公式，联想到直线l1与圆C联立，得x1+x2，从而得到点M的坐标。

解一：根据条件直线与圆相交可知，直线l1的斜率存在且不为零，可设为：y=k（x-1），k≠0

由得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k28k+21=0（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），那么x1，x2是方程（*）的两根，所以x1+x2=。

由于点M是线段PQ的中点，所以点M的横坐标为

代入y=k（x-1），得即M

所以AM=

因此，AM・AN=6定值。

定值问题是解析几何中的一种常见问题，根本的求解方法是先用变量表示所需证明的不变量，然后再通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解抉择值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，结果才是定值问题。

分析二：在解一中，对点M的求解采用了解析几何的根本方法，设而不求的整体代入法。但由于点M是圆C的弦的中点，根据半弦长、弦心距、半径的直角关系，可得CM⊥PQ，可得点M新的轨迹。

解二：同解一得由于点M是线段PQ的中点，∴CM⊥AM，又因A,C是两定点，点M在以线段AC为直径的圆（x-2）2+（y-2）2=5上。联立（x-2）2+（y-2）2=5与直线l1:y=k（x-1），得方程（1+k2）x2-（2k2+4k+4）x+k2+4k+3=0（*），由于直线l1与圆（x-2）2+（y-2）2=5

相交于两点A、M，所以方程（*）有两解x=1或x=xM，因此下面同解一得，AM・AN=6定值。

分析三：考虑到含参线段长度的表示及乘积是对比繁杂的，且AM・AN的布局特点类似于向量的数量积。所以我们利用点A，N，M三点共线，将线段AM，AN的长度乘积转化成向量的数量积

利用数量积的坐标运算来制止AM，AN繁琐的长度计算。

解三：根据条件，直线与圆相交可知，直线l1的斜率存在且不

为零，可设为：y=k（x-1），k≠0。由得

由于点M是线段PQ的中点，所以CM⊥PQ，所以直线CM：y-4=

由于所以AM・AN=6定值。

分析四：平面解析几何是数形结合的典范，在解决直线与圆的位置关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质，高明使用平面学识往往能起到化腐朽为神秘的作用。结合此题探求AM・AN是否为定值问题，我们可以先查看已定好的圆C（定点C定长r）、点A、定直线l2的位置特征，以探索变化中的不变性质。这时就会察觉AC⊥l2，接着不难察觉存在Rt△ACM≈Rt△ABN的处境。

解四：由于直线AC的斜率直线l2的斜率所以，kAC・k2=-1，从而有AC⊥l2；设AC∩l2=B，那么AB⊥l2由于点M是线段PQ的中点，所以CM⊥PQ所以，Rt△ABN~Rt△AMC（根据三个角对应相等），所以，AC=√（3-1）2+42=2√5，所以，定值。

对该题的再斟酌：

通过对该题的探究，我们可以试着变更题中的一些条件，再斟酌是否有相应的结论。

推广：已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，过点C作直线l2：x+2y+2=0的垂线，垂足为B，在直线BC上任取一点A，过A作直线l1交圆C于点P，Q，线段PQ的中点为M，同时直线l1与直线l2:x+2y+2=0的交点为N，试判断AM・AN是否为定值？若是，那么求出该定值；若不是，请说明理由。

解析：若点A在线段BC上时，同方法四，可证得AM・AN=6

若点A在线段BC的延长线上时，由BC⊥BN，CM⊥MN得，四点B，C，M，N共圆，利用圆的平面几何性质，所以有AM・AN=AC・AB=6。

若点A在线段BC的反向延长线上时，由BC⊥BN，CM⊥

MN得，四点B，C，M，N共圆，利用圆的平面几何性质，所以有AM・AN=AC・AB=6，从而，不管点A在直线BC的哪个位置都有AM・AN=6为定值。

学习数学离不开解题，解题的过程就是不断转化，不断联想的过程，解题后要实时对问题举行查看、分析、归纳类比、抽象概括，对问题中蕴涵的数学思想，数学方法举行不断地斟酌，从而深化对数学概念、公式，